[行列解析2.3.p5]

2.3.問題5
- 2.3.P5
行列解析の総本山

2.3.問題5

2.3.P5

与えられた行列族 \( \mathcal{F} = \{A_1, \dots, A_k\} \subset M_n \) に対し、すべてのペア積からなる族を
\( \mathcal{G} = \{A_i A_j : i,j = 1,2,\dots,k\} \) とする。
もし \( \mathcal{G} \) が可換であれば、各交換子 \( A_i A_j - A_j A_i \) のすべての固有値が 0 であることと同値に、
\( \mathcal{F} \) は同時に単位的上三角化可能であることが知られている。

このとき、\( \mathcal{G} \) の可換性の仮定は、\( \mathcal{F} \) の可換性よりも弱い仮定であることを示せ。
また、(2.3.P4) の \( \mathcal{F} \) に対応する \( \mathcal{G} \) が可換であり、零固有値条件も満たすことを示せ。