2.2.問題4
2.2.P4
\( A \in M_3 \) とする。
(a) (2.2.8c) にある最初の6語 \(W \) に対して、以下を示し、次の同値性を結論せよ：
\mathrm{tr}\, W(A, A^*) = \mathrm{tr}\, W(A^T \overline{A})
\Leftrightarrow A \text{ は } A^T \text{ とユニタリ相似}
(b)
A \text{ が } A^T \text{ とユニタリ相似}
\Leftrightarrow \mathrm{tr}(AA^*(A^*A - AA^*)A^*A) = 0
(c) (b) または (a) の判定法を用いて、次の行列がその転置とユニタリ相似でないことを示せ：
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
-1 & 0 & 1 \\
-1 & -1 & -1
\end{bmatrix}
ただし、任意の正方複素行列はその転置と相似（similar）であることに注意せよ（3.2.3参照）。
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