[行列解析2.1.p18]

2.1.問題18

\( A \in M_n \) を \( A = QR \) と分解し、列ごとに \( A = [a_1 \dots a_n] \)、\( Q = [q_1 \dots q_n] \)、\( R = [r_{ij}]_{i,j=1}^n \) とする。

各 \( k = 1, \dots, n \) に対し、\( \{q_1, \dots, q_k\} \) が \( \{a_1, \dots, a_k\} \) の張る部分空間の直交基底であることを示せ。
各 \( k = 2, \dots, n \) に対し、\( r_{kk} \) は \( a_k \) と \( \mathrm{span}\{a_1, \dots, a_{k-1}\} \) とのユークリッド距離であることを示せ。