[行列解析2.1.p16]

2.1.問題16

\( x, y \in \mathbb{R}^n \) が与えられた一次独立な単位ベクトルとし、\( w = x + y \) と定義する。

Palais 行列 \( P_{x,y} \) を次のように定義する：

P_{x,y} = I - \frac{2}{w^T w}ww^T + 2yx^T

以下を示せ：

\( P_{x,y} = (I - \frac{2}{w^T w}ww^T)(I - 2xx^T) = U_w U_x \) は 2つの実ハウスホルダー行列の積であり、したがって実直交行列である。
\(\det P_{x,y} = +1\) なので、これは常に正の回転行列（proper rotation）である。
\( P_{x,y} x = y \)、かつ \( P_{x,y} y = -x + 2(x^T y)y \) である。
\( z \in \mathbb{R}^n \) が \( x \) および \( y \) に直交しているとき、\( P_{x,y} z = z \)。
\( P_{x,y} \) は \( \mathrm{span}\{x, y\}^\perp \) 上では恒等作用をし、2次元部分空間 \( \mathrm{span}\{x, y\} \) 上では正回転として作用し、\( x \) を \( y \) に写す。
\( n = 3 \) のとき、\( P_{x,y} \) は \( x \) を \( y \) に写しつつ、\( x \times y \) を不変にする唯一の正回転行列である理由を説明せよ。
\( P_{x,y} \) の固有値は \( x^T y \pm i \sqrt{1 - (x^T y)^2} = e^{\pm i\theta}, 1, \dots, 1 \) であり、ここで \( \cos\theta = x^T y \)。

参考:Matrix Analysis：Second Edition ISBN 0-521-30587-X.(当サイトは公式と無関係です)