[行列解析2.1.10]補題

2.1.10

ユニタリ行列 \( U \in M_n \) を次のように分割する：

U = \begin{bmatrix} U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22} \end{bmatrix}

ただし \( U_{11} \in M_k \) とする。

このとき、次が成り立つ：

\operatorname{rank}(U_{12}) = \operatorname{rank}(U_{21}), \quad \operatorname{rank}(U_{22}) = \operatorname{rank}(U_{11}) + n - 2k.

特に、\( U_{12} = 0 \) であることと \( U_{21} = 0 \) であることは同値であり、その場合 \( U_{11} \) および \( U_{22} \) はユニタリ行列である。

ランクについての2つの主張は、余核次元の法則 (0.7.5) と、次の事実を用いれば直ちに従う：

U^{-1} = \begin{bmatrix} U_{11}^{*} & U_{21}^{*} \\ U_{12}^{*} & U_{22}^{*} \end{bmatrix}

上の補題を用いて、ユニタリ行列が上三角行列であることと対角行列であることが同値であることを示せ。

平面回転行列およびハウスホルダー行列は、特別な（かつ非常に単純な）ユニタリ行列であり、いくつかの基本的な行列分解を導く上で重要な役割を果たす。