[行列解析1.4.p9]

1.4.問題9

1.4.P9

行列 \(A \in M_n\) が固有値 \(\lambda_1, \dots, \lambda_{n-1}, 0\) を持ち、したがって \(\operatorname{rank} A \le n-1\) とする。

最後の行が最初の \(n-1\) 行の線形結合であると仮定する。

次のように分割する：

A = \begin{pmatrix} B \\ y^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & \alpha \end{pmatrix}, \quad B \in M_{n-1}

(a) なぜ \(z \in \mathbb{C}^{n-1}\) が存在して、\(y^T = z^T B\) および \(\alpha = z^T x\) が成り立つのか説明せよ。

なぜ \(\begin{pmatrix} z \\ -1 \end{pmatrix}\) が固有値 0 に対応する左固有ベクトルになるのかを示せ。

(b) \(B + x z^T \in M_{n-1}\) の固有値が \(\lambda_1, \dots, \lambda_{n-1}\) であることを示せ。

この構成は別の種類のデフレーションである。詳細な例については (1.3.P33) を参照。