[行列解析1.4.p8]

1.4.問題8

1.4.P8

(1.4.P7) の仮定と記法を引き続き用いる。

さらに、行列 \(A\) の他の固有値および固有ベクトルは、べき乗法とデフレーションを組み合わせることで計算できる。

デフレーションにより、1 サイズ小さい正方行列が得られ、そのスペクトル（重複度を含む）は \(A\) の全ての固有値のうち1つを除いたものを含む。

次のようにする。

非特異な行列 \(S \in M_n\) を取り、その最初の列を固有値 \(\lambda_n\) に対応する固有ベクトル \(y^{(n)}\) とする。

このとき、次を示せ：

S^{-1} A S = \begin{pmatrix} \lambda_n & 0 \\ * & B \end{pmatrix}

ここで、\(B \in M_{n-1}\) の固有値は \(\lambda_1, \dots, \lambda_{n-1}\) である。

別の固有値は \(B\) から計算でき、デフレーションを繰り返すことで他の固有値も順に求められる。