[行列解析1.4.P8]べき乗法とデフレーションによる固有値分離

1.4.P8

1.4.問題8

(1.4.P7) の仮定と記法を引き続き用いる。

さらに、行列 \(A\) の他の固有値および固有ベクトルは、べき乗法とデフレーション(行列の次数を減らす)を組み合わせることで計算できる。

デフレーションにより、1 サイズ小さい正方行列が得られ、そのスペクトル（重複度を含む）は \(A\) の全ての固有値のうち1つを除いたものを含む。

次のようにする。

非特異な行列 \(S \in M_n\) を取り、その最初の列を固有値 \(\lambda_n\) に対応する固有ベクトル \(y^{(n)}\) とする。

このとき、次を示せ：

S^{-1} A S = \begin{pmatrix} \lambda_n & 0 \\ * & B \end{pmatrix}

ここで、\(B \in M_{n-1}\) の固有値は \(\lambda_1, \dots, \lambda_{n-1}\) である。

別の固有値は \(B\) から計算でき、デフレーションを繰り返すことで他の固有値も順に求められる。

固有ベクトルを基底の一部として行列を相似変換すると、その固有値に対応する成分がブロックとして分離される。

相似変換は固有値を保存することを用い、得られたブロック三角行列の対角成分からスペクトルを読み取る。

(1.4.P7) の仮定より、\( \lambda_n \) は \( A \) の最大絶対値固有値であり、対応する右固有ベクトルを \( y^{(n)} \) とする。

非特異な行列 \( S\in M_n \) を、その第1列が \( y^{(n)} \) となるように取る。すなわち \( S=[y^{(n)},s_2,\dots,s_n] \) とする。このとき \( AS = [Ay^{(n)},As_2,\dots,As_n] \) である。

\( Ay^{(n)}=\lambda_n y^{(n)} \) であるから、相似変換 \( S^{-1}AS \) の第1列は \( (\lambda_n,0,\dots,0)^{\mathsf T} \) となる。

S^{-1}AS= \begin{pmatrix} \lambda_n & 0 \\ * & B \end{pmatrix}

ここで \( B\in M_{n-1} \) は下右ブロックとして定まる行列である。

相似変換は固有値を保存するため、\( S^{-1}AS \) の固有値は \( A \) の固有値と一致する。一方、ブロック三角行列の固有値は対角ブロックの固有値の集合であるから、 \( \lambda_n \) と \( B \) の固有値全体が \( A \) の固有値となる。

したがって、\( B \) の固有値は \( \lambda_1,\dots,\lambda_{n-1} \) である。

以上により、\( A \) から最大絶対値固有値 \( \lambda_n \) を分離し、残りの固有値を \( B \) から計算できることが分かる。この操作を繰り返すことで、べき乗法とデフレーションを組み合わせて他の固有値も順に求めることができる。