[行列解析1.4.P7]べき乗法による最大絶対値固有値の収束

1.4.P7

1.4.問題7
- ヒント
- 解答例
行列解析の総本山
- 総本山の目次📚
- 記号の意味🔎

1.4.問題7

この問題では、行列 \(A \in M_n\) の最大絶対値固有値および対応する固有ベクトルを求めるためのべき乗法の簡単なバージョンを概説する。

次の条件を仮定する。\(A \in M_n\) の固有値は互いに異なり、\(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) であり、最大絶対値 \(\rho(A)\) を持つ固有値 \(\lambda_n\) がただ一つ存在する。

もし初期ベクトル \(x^{(0)} \in \mathbb{C}^n\) が \(\lambda_n\) に対応する左固有ベクトルと直交していないなら、次の列を考える：

x^{(k+1)} = \frac{1}{\sqrt{(x^{(k)})^* x^{(k)}}} A x^{(k)}, \quad k = 0, 1, 2, \dots

この列は \(A\) の固有ベクトルに収束し、ベクトル \(Ax^{(k)}\) と \(x^{(k)}\) の任意の非ゼロ成分の比は \(\lambda_n\) に収束することを示せ。

ヒント

初期ベクトルを固有ベクトルの基底で展開し、反復ごとに各成分がどのようにスケーリングされるかを考える。

最大絶対値固有値に対応する成分が相対的に支配的になることを利用する。

正規化は方向を保ったまま大きさのみを調整する操作である。

解答例

仮定より、\( A \) は互いに異なる固有値 \( \lambda_1,\dots,\lambda_n \) を持ち、最大絶対値固有値 \( \rho(A)=|\lambda_n| \) を満たすものは \( \lambda_n \) のみである。対応する右固有ベクトルを \( v_1,\dots,v_n \)、左固有ベクトルを \( w_1,\dots,w_n \) とする。

初期ベクトル \( x^{(0)} \) は \( \lambda_n \) に対応する左固有ベクトルと直交しないと仮定しているので、固有ベクトル展開 \( x^{(0)}=\sum_{i=1}^n c_i v_i \) において \( c_n\neq0 \) が成り立つ。

このとき、

A^k x^{(0)}=\sum_{i=1}^n c_i \lambda_i^k v_i

と書ける。両辺を \( \lambda_n^k \) で割ると、 \( \sum_{i=1}^n c_i (\lambda_i/\lambda_n)^k v_i \) となるが、\( |\lambda_i/\lambda_n| \lt 1 \) が \( i\neq n \) で成り立つため、\( k\to\infty \) とすると \( c_n v_n \) に収束する。

反復列 \( x^{(k+1)}=\frac{1}{\sqrt{(x^{(k)})^*x^{(k)}}}Ax^{(k)} \) は、各段階で正規化を行っているにすぎないため、方向は \( A^k x^{(0)} \) と同じである。したがって \( x^{(k)} \) は \( v_n \) の方向に収束し、\( A \) の固有ベクトルに収束する。

さらに、十分大きな \( k \) に対しては \( Ax^{(k)}\approx \lambda_n x^{(k)} \) が成り立つ。よって、任意の非ゼロ成分について \( (Ax^{(k)})_j/(x^{(k)})_j \) を考えると、これは \( \lambda_n \) に収束する。