1.4.問題7
1.4.P7
この問題では、行列 \(A \in M_n\) の最大絶対値固有値および対応する固有ベクトルを求めるためのべき乗法の簡単なバージョンを概説する。
次の条件を仮定する。\(A \in M_n\) の固有値は互いに異なり、\(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) であり、最大絶対値 \(\rho(A)\) を持つ固有値 \(\lambda_n\) がただ一つ存在する。
もし初期ベクトル \(x^{(0)} \in \mathbb{C}^n\) が \(\lambda_n\) に対応する左固有ベクトルと直交していないなら、次の列を考える：
x^{(k+1)} = \frac{1}{\sqrt{(x^{(k)})^* x^{(k)}}} A x^{(k)}, \quad k = 0, 1, 2, \dots
この列は \(A\) の固有ベクトルに収束し、ベクトル \(Ax^{(k)}\) と \(x^{(k)}\) の任意の非ゼロ成分の比は \(\lambda_n\) に収束することを示せ。
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