[行列解析1.3.P8]

1.3.問題8

1.3.P8

\( A, B \in M_n \) であり、少なくとも一方が異なる固有値を持つ場合（もう一方については対角化可能性すら仮定しない）、次の幾何学的議論の詳細を示せ。

すなわち、\( A \) と \( B \) が可換であることと、それらが同時に対角化可能であることは同値である。

一方向は容易である。逆方向については、\( B \) が異なる固有値を持ち、\( Bx = \lambda x \) が成り立つ非零ベクトル \( x \) があると仮定する。

Bx = \lambda x, \quad x \neq 0

このとき、

B(Ax) = A(Bx) = A(\lambda x) = \lambda (Ax)

が成り立つので、(1.2.18) より、ある複素数 \( \mu \in \mathbb{C} \) が存在して \( Ax = \mu x \) となる。

Ax = \mu x

したがって、\( B \) を対角化する固有ベクトルの基底を用いて \( A \) も対角化できる。

もちろん、\( A \) の固有値が異なる必要はない。