1.3.問題27
1.3.P27
（1.3.P26 の続き） \(A = [A_{kl}] \in M_{mn}\) を与えられた \(m \times m\) ブロック行列とし、各ブロック \(A_{kl} = [a^{(kl)}_{ij}] \in M_n\) が上三角行列であると仮定する。
このとき、\(A\) の固有値は
\tilde{A}_{11} \oplus \cdots \oplus \tilde{A}_{nn}
の固有値と一致する。
ここで、
\tilde{A}_{pp} = [a^{(ij)}_{pp}], \quad p = 1, \dots, n
である。
したがって、\(A\) の固有値は各ブロック \(A_{ij}\) の主対角成分のみに依存する。特に、
\det A = (\det \tilde{A}_{11}) \cdots (\det \tilde{A}_{nn})
が成り立つ。
さらに、もし各ブロック \(A_{ij}\) の対角成分がすべて等しく、すなわちスカラー \(\alpha_{kl}\) が存在して、
a^{(kl)}_{ii} = \alpha_{kl}, \quad i=1,\dots,n, \; k,l=1,\dots,m
となるならば、各 \(\tilde{A}_{pp}\) は行列 \([\alpha_{kl}]\) と一致する。
この場合、\(A\) の固有値は \([\alpha_{kl}]\) の固有値がそれぞれ \(n\) 回ずつ現れる。また、\(\det A = (\det [\alpha_{kl}])^n\) が成り立つ。
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