定理 1.3.7．
\( A \in M_n \) が与えられているとする。このとき、\( A \) は次の形のブロック行列に相似である：
\begin{align}
& \begin{pmatrix} B & C \\ 0 & D \end{pmatrix}, \notag \\
& B = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_k), \notag \\
& D \in M_{n-k}, \quad 1 \leq k < n \notag
\end{align}もし、かつその場合に限り、\(\mathbb{C}^n\) において互いに一次独立なベクトルが \(k\) 個存在し、それぞれが \(A\) の固有ベクトルである。
行列 \(A\) が対角化可能であるのは、もし、かつその場合に限り、\(n\) 個の互いに一次独立な固有ベクトルが存在するときである。
もし \(x^{(1)}, \ldots, x^{(n)}\) が \(A\) の一次独立な固有ベクトルであり、かつ \(S = [x^{(1)} \ \cdots \ x^{(n)}]\) とすると、\(S^{-1} A S\) は対角行列となる。
\(A\) が (1.3.7.1) 形の行列に相似であれば、\(B\) の対角成分は \(A\) の固有値である。\(A\) が対角行列 \(B\) に相似であれば、その対角成分は \(A\) のすべての固有値である。
証明．
\(k < n\) であり、\(n\) 次元ベクトル \(x^{(1)}, \ldots, x^{(k)}\) が一次独立で、かつ各 \(i = 1, \ldots, k\) に対して \(A x^{(i)} = \lambda_i x^{(i)}\) であると仮定する。
ここで \(B = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_k)\)、\(S_1 = [x^{(1)} \ \cdots \ x^{(k)}]\) とし、任意の \(S_2 \in M_n\) を選んで \(S = [S_1 \ S_2]\) が正則となるようにする。すると計算により
\begin{align}
S^{-1} A S
&= S^{-1}[A x^{(1)} \ \cdots \ A x^{(k)} \ A S_2] \notag \\
&= S^{-1}[\lambda_1 x^{(1)} \ \cdots \ \lambda_k x^{(k)} \ A S_2] \notag \\
&= [\lambda_1 e_1 \ \cdots \ \lambda_k e_k \ S^{-1} A S_2] \notag \\
&= \begin{pmatrix} B & C \\ 0 & D \end{pmatrix} \notag
\end{align}ここで \(B = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_k)\)、さらに \(\begin{pmatrix} C \\ D \end{pmatrix} = S^{-1} A S_2\) である。
逆に、\(S\) が正則であり、
S^{-1} A S = \begin{pmatrix} B & 0 \\ C & D \end{pmatrix} とし、\(S = [S_1 \ S_2]\)、\(S_1 \in M_{n,k}\) と分割すると、\(S_1\) の列は一次独立であり、 \([A S_1 \ A S_2] = A S = [S_1 B \ S_1 C + S_2 D]\) となる。
したがって \(A S_1 = S_1 B\) であり、\(S_1\) の各列は \(A\) の固有ベクトルである。
もし \(k = n\) であり、基底 \(\{x^{(1)}, \ldots, x^{(n)}\}\) が \(A x^{(i)} = \lambda_i x^{(i)}\) を満たすならば、\(B = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\)、\(S = [x^{(1)} \ \cdots \ x^{(n)}]\) とすると、上記の計算により \(S^{-1} A S = B\) となる。
逆に、\(S^{-1} A S = B\) ならば、\(A S = S B\) であり、\(S\) の各列は \(A\) の固有ベクトルである。
最後の固有値に関する主張は、特性多項式の関係 \(p_A(t) = p_B(t) p_D(t)\)（\(k < n\) の場合）、および \(p_A(t) = p_B(t)\)（\(k = n\) の場合）から従う。
証明終
定理 1.3.7 の証明は、原理的には対角化可能な行列 \(A \in M_n\) を対角化するためのアルゴリズムとなっている。すなわち、まず \(A\) の全ての固有値を求め、それぞれに対応する一次独立な固有ベクトルを \(n\) 個見つけ、行列 \(S\) を構成する。しかし、小さな例を除けば、これは実用的な計算手順ではない。
演習．
次の行列が対角化可能でないことを示せ：
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} ヒント：もし対角化可能ならば零行列に相似であるはずである。あるいは、固有値 0 に対応する一次独立な固有ベクトルはいくつあるかを考えよ。
演習．
\(q(t)\) を多項式とする。もし \(A\) が対角化可能ならば、\(q(A)\) も対角化可能であることを示せ。逆に、\(q(A)\) が対角化可能ならば、\(A\) も対角化可能でなければならないか？理由を述べよ。
演習．
\(\lambda\) が \(A \in M_n\) の固有値であり、その重複度が \(m \geq 1\) であるとする。もし \(\mathrm{rank}(A - \lambda I) > n - m\) ならば、\(A\) は対角化可能でないことを示せ。
演習．
\(\mathbb{C}^n\) において、与えられた固有値 \(\lambda\) に対応する一次独立な固有ベクトルが \(k\) 個存在する場合、\(\lambda\) の（代数的）重複度が少なくとも \(k\) である理由を慎重に説明せよ。
すべての固有値が異なれば、行列は必ず対角化可能である。
この事実の根拠は、固有値に関する次の重要な補題である。
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