定理 1.3.31（Mirsky）.
整数 \( n \geq 2 \) および複素数 \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\)、\(d_1, \dots, d_n\) が与えられているとする。
次が成り立つ：固有値が \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\)、主対角成分が \(d_1, \dots, d_n\) である \(A \in M_n\) が存在するのは、かつその場合に限り
\sum_{i=1}^n \lambda_i = \sum_{i=1}^n d_i
が成り立つときである。
さらに、\(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) および \(d_1, \dots, d_n\) がすべて実数であり、かつその総和が等しい場合、固有値が \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\)、主対角成分が \(d_1, \dots, d_n\) である \(A \in M_n(\mathbb{R})\) が存在する。
証明.
任意の \(A \in M_n\) に対して \(\mathrm{tr}\,A = E_1(A) = S_1(A)\) が成り立つことは (1.2.16) より知られている。これは必要条件を与える。我々は十分性を示す必要がある。
\(k \geq 2\) とし、\(\lambda_1, \dots, \lambda_k\) および \(d_1, \dots, d_k\) が複素数であって \(\sum_{i=1}^k \lambda_i = \sum_{i=1}^k d_i\) を満たすとする。このとき、上二重対角行列
T(\lambda_1, \dots, \lambda_k) =
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & 1 & & & 0 \\
0 & \lambda_2 & 1 & & \\
\vdots & & \ddots & \ddots & \\
& & & \lambda_{k-1} & 1 \\
0 & \cdots & & 0 & \lambda_k
\end{bmatrix}
\in M_k
は、対角成分が \(d_1, \dots, d_k\) となる行列と相似であることを主張する。このような行列は所望の性質をもつ。ここで
\begin{align}
&L(s, t) =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
s - t & 1
\end{bmatrix}, \notag \\
&L(s, t)^{-1} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \notag \\
t - s & 1
\end{bmatrix}
\end{align}と定める。まず \(k = 2\) の場合を考える。このとき \(\lambda_1 + \lambda_2 = d_1 + d_2\) が成り立つ。次を計算する：
\begin{align}
&L(\lambda_1, d_1)\,T(\lambda_1, \lambda_2)\, L(\lambda_1, d_1)^{-1} \notag \\
&=
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \lambda_1 -d_1 &1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \lambda_1 & 1 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ d_1 -\lambda_1 &1 \end{bmatrix}
\notag \\
&＝
\begin{bmatrix} d_1 & * \\ * & \lambda_1 + \lambda_2 - d_1 \end{bmatrix} \notag \\
&=
\begin{bmatrix} d_1 & * \notag \\ * & d_2 \end{bmatrix}
\end{align}
ここで仮定 \(\lambda_1 + \lambda_2 - d_1 = d_1+d_2-d_1=d_2\) を用いた。
これで \(k=2\) の場合が確認できた。
次に帰納法を用いる。ある \(k \geq 2\) について主張が成り立つと仮定し、\(\sum_{i=1}^{k+1} \lambda_i = \sum_{i=1}^{k+1} d_i\) が成り立つ場合を考える。
行列 \(T(\lambda_1, \dots, \lambda_{k+1})\) を次のように分割する：
T =
\begin{bmatrix}
T_{11} & T_{12} \\
0 & T_{22}
\end{bmatrix}
ここで \(T_{11} = T(\lambda_1, \lambda_2)\)、\(T_{12} = E_2\)、\(T_{22} = T(\lambda_3, \dots, \lambda_{k+1})\)、また \(E_2 = [\,e_2\ 0\ \dots\ 0\,] \in M_{2, k-1}\)、\(e_2 = [\,0\ 1\,]^T \in \mathbb{C}^2\) とする。
さらに \(L = L(\lambda_1, d_1) \oplus I_{k-1}\) とおく。
計算すると
L\,T\,L^{-1}
=
\begin{bmatrix}
d_1 & E_2 \\
0 & T(\lambda_1+\lambda_2-d_1, \lambda_3, \dots, \lambda_{k+1})
\end{bmatrix}
ここで \(D = T(\lambda_1+\lambda_2-d_1, \lambda_3, \dots, \lambda_{k+1}) \in M_k\) とおくと、その固有値の和は
\sum_{i=1}^{k+1} \lambda_i - d_1
= \sum_{i=1}^{k+1} d_i - d_1
= \sum_{i=2}^{k+1} d_i
であるから、帰納法の仮定より、ある正則行列 \(S \in M_k\) が存在して、\(S D S^{-1}\) の対角成分は \(d_2, \dots, d_{k+1}\) となる。
このとき
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & S
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
d_1 & * \\
* & D
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & S
\end{bmatrix}^{-1}
=
\begin{bmatrix}
d_1 & * \\
0 & S D S^{-1}
\end{bmatrix}
の対角成分は \(d_1, d_2, \dots, d_{k+1}\) となる。
\(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) および \(d_1, \dots, d_n\) がすべて実数であれば、上記の構成に現れる行列および相似変換はすべて実行列となる。
演習.
上記の証明における帰納法のステップ \(k=2 \Rightarrow k=3\) の詳細を実際に書き下してみよ。
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