例 1.3.25.
任意の \( n \geq 2 \) に対して、次の \( n \times n \) 実対称ハンケル行列を考える。
A = [\, i + j \,]_{i,j=1}^{n}
= \begin{bmatrix}
2 & 3 & 4 & \cdots \\
3 & 4 & 5 & \cdots \\
4 & 5 & 6 & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{bmatrix}
= v e^{T} + e v^{T}
= [\, v \; e \,][\, e \; v \,]^{T}
ここで、\( e \in \mathbb{R}^n \) のすべての成分は 1 であり、\( v = [\, 1 \; 2 \; \dots \; n \,]^{T} \) である。\( A \) の固有値は、次の行列 \( B \) の固有値と同じである。
B = [\, e \; v \,]^{T} [\, v \; e \,]
= \begin{bmatrix}
e^{T} v & e^{T} e \\
v^{T} v & v^{T} e
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
\dfrac{n(n+1)}{2} & n \\
\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} & \dfrac{n(n+1)}{2}
\end{bmatrix}
これに加えて \( n - 2 \) 個の 0 が固有値となる。
(1.2.4b) によれば、\( B \) の固有値（1つは正、もう1つは負）は次の通りである。
\dfrac{n(n+1)}{2} \; \pm \; \sqrt{\dfrac{2n+1}{6(n+1)}}
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