次の補題は、多くの後続結果の核心となる。
補題 1.3.19.
\( F \subset M_n \) を可換な族とする。
このとき、\(\mathbb{C}^n\) において、すべての \( A \in F \) の固有ベクトルとなる零でないベクトルが存在する。
証明.
常に零でない \(F\)-不変部分空間が存在する。
例えば \(\mathbb{C}^n\) 自身である。
次を定める：
m = \min \{ \dim V : V \text{ は } \mathbb{C}^n \text{ の零でない } F\text{-不変部分空間} \}
そして \(\dim W = m\) となる任意の \(F\)-不変部分空間 \(W\) を取る。任意の \(A \in F\) を固定する。\(W\) は \(F\)-不変なので \(A\)-不変でもある。
よって (1.3.18) により、ある零でない \(x_0 \in W\) とある \(\lambda \in \mathbb{C}\) が存在して
A x_0 = \lambda x_0
が成り立つ。
部分空間
W_{A,\lambda} = \{ x \in W : A x = \lambda x \}
を考える。
このとき \(x_0 \in W_{A,\lambda}\) なので、\(W_{A,\lambda}\) は \(W\) の零でない部分空間である。
任意の \(B \in F\) および任意の \(x \in W_{A,\lambda}\) に対して、\(W\) の \(F\)-不変性より \(Bx \in W\) である。
さらに \(F\) の可換性を用いると、
A(Bx) = (AB)x = (BA)x = B(Ax) = B(\lambda x) = \lambda (Bx)
が成り立ち、よって \(Bx \in W_{A,\lambda}\) である。
したがって \(W_{A,\lambda}\) は零でない \(F\)-不変部分空間である。
ゆえに \(\dim W_{A,\lambda} \geq m\) であるが、\(W_{A,\lambda} \subseteq W\) なので \(\dim W_{A,\lambda} \leq m\) も成り立ち、結局 \(W = W_{A,\lambda}\) となる。
以上により、各 \(A \in F\) に対して、あるスカラー \(\lambda_A\) が存在し、すべての \(x \in W\) に対して
A x = \lambda_A x
が成り立つ。
したがって、\(W\) の零でない任意のベクトルは \(F\) のすべての行列の固有ベクトルである。
演習.
上の証明に現れる零でない \(F\)-不変部分空間 \(W\) を考えよ。
なぜ \(m = \dim W = 1\) となるのか説明せよ。
演習.
\(F \subset M_n\) が可換な族であると仮定する。
ある正則行列 \(S \in M_n\) が存在して、各 \(A \in F\) に対して \(S^{-1} A S\) が \(k = 1\) の場合の (1.3.17) 形式を持つことを示せ。
補題 1.3.19 は、有限・無限を問わない任意の非零個数の可換な族に関するものである。
次の結果は、定理 1.3.12 が対角化可能な可換族に対して任意の場合に拡張できることを示す。
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