定理 1.3.12.
\( A, B \in M_n \) が対角化可能であるとする。このとき、\( A \) と \( B \) が可換であることと、それらが同時対角化可能であることは同値である。
証明.
まず、\( A \) と \( B \) が可換であると仮定する。
\( A \) を対角化する（ただし \( B \) は必ずしも対角化されない）相似変換を両方に施し、さらに \( A \) の重複する固有値をまとめて並べ替える。
このとき、\( \mu_1, \dots, \mu_d \) を \( A \) の異なる固有値、\( n_1, \dots, n_d \) をそれぞれの代数的重複度とすると、次の形にできる：
(1.3.13)
A =
\begin{bmatrix}
\mu_1 I_{n_1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \mu_2 I_{n_2} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \mu_d I_{n_d}
\end{bmatrix},
\quad \mu_i \neq \mu_j \ \text{if} \ i \neq j
\( AB = BA \) であるため、(0.7.7) の結果より \( B \) は \( A \) と適合するブロック対角行列になり、次のように書ける：
(1.3.14)
B =
\begin{bmatrix}
B_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & B_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & B_d
\end{bmatrix},
\quad B_i \in M_{n_i}
\( B \) が対角化可能であるので、(1.3.10) の結果より各 \( B_i \) も対角化可能である。
各 \( i = 1, \dots, d \) に対し、正則行列 \( T_i \in M_{n_i} \) で \( T_i^{-1} B_i T_i \) が対角行列になるものを取る。
(1.3.15)
T =
\begin{bmatrix}
T_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & T_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & T_d
\end{bmatrix}
このとき、\( T^{-1} \mu_i I_{n_i} T_i = \mu_i I_{n_i} \) なので、\( T^{-1} A T = A \) は依然として対角行列であり、また \( T^{-1} B T \) も対角行列となる。
よって \( A \) と \( B \) は同時対角化可能である。
逆方向（同時対角化可能なら可換）は、前の演習で示した。
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