0.8.5 シュア補題と行列式の公式
A = [a_{ij}] \in M_n(F) とし、ある添字集合 \( \alpha \subset \{1, \ldots, n\} \) に対して、部分行列 \( A[\alpha] \) が正則（可逆）であるとします。このとき、A の 2-分割に基づく行列式の重要な公式は以下の通りです。
det A = det A[\alpha] \cdot det(A_{\alpha^c,\alpha^c} - A_{\alpha^c,\alpha} A[\alpha]^{-1} A_{\alpha,\alpha^c})
これは 2×2 行列における行列式の公式の一般化です。式中の
A / A[\alpha] = A_{\alpha^c,\alpha^c} - A_{\alpha^c,\alpha} A[\alpha]^{-1} A_{\alpha,\alpha^c}
は A における \( A[\alpha] \) に対するシュア補（Schur complement）と呼ばれます。
この式は、(0.7.3.1) における逆行列の分割形式にも登場します。シュア補は、ブロックガウス消去を用いて導かれ、以下の恒等式を用いて証明できます：
\begin{bmatrix}
I & 0 \\
- A_{21} A_{11}^{-1} & I
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
I & - A_{11}^{-1} A_{12} \\
0 & I
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
A_{11} & 0 \\
0 & A / A_{11}
\end{bmatrix}
ここで \( S = A / A_{11} \) をシュア補とします。この恒等式から以下の重要な事実が導かれます：
- ランク：\( \text{rank}(A) = \text{rank}(A_{11}) + \text{rank}(S) \)。
- 正則性：\( A \) が正則であることと \( S \) が正則であることは同値です。
- 行列式：\( \det(A) = \det(A_{11}) \cdot \det(S) \)。
また、以下のようにしてシュア補を含む逆行列の公式が得られます：
A^{-1} =
\begin{bmatrix}
A_{11}^{-1} + A_{11}^{-1} A_{12} S^{-1} A_{21} A_{11}^{-1} & -A_{11}^{-1} A_{12} S^{-1} \\
- S^{-1} A_{21} A_{11}^{-1} & S^{-1}
\end{bmatrix}
このことから \( A^{-1}[\{k+1, \ldots, n\}] = S^{-1} \) であり、
\det A^{-1}[\{k+1, \ldots, n\}] = \frac{\det A_{11}}{\det A}
これはヤコビの恒等式の一形です。シュア補がスカラーとなる場合（例えば \( \alpha^c = \{n\} \)）には、以下のような Cauchy 展開が得られます：
\det \begin{bmatrix} \tilde{A} & x \\ y^T & a \end{bmatrix} = a \cdot \det(\tilde{A}) - y^T (\text{adj } \tilde{A}) x
ここで adj は余因子行列（adjugate）を意味します。さらに、a \( \neq 0 \) ならば以下の公式が得られます：
\det(\tilde{A} + xy^T) = \det(\tilde{A}) + y^T (\text{adj } \tilde{A}) x
これは rank-1 の摂動に関する Cauchy の公式です。
さらに、シュア補の商性質（quotient property）として、
A / A_{11} = (A / A_{11}) / (A_{11} / A_{11})
が成り立ちます。
最後に、ブロックがすべて同じサイズで、\( A_{11} \) が他のブロックと可換である場合、以下の公式が導かれます：
\det A = \det(A_{11} A_{22} - A_{21} A_{12})
この式は、\( A_{11} \) または \( A_{22} \) が可換なときにも成立します。
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