[行列解析0.6.1]定義

0.6.1 定義

スカラー積 \( \langle x, y \rangle = y^* x \) は、\( x, y \in \mathbb{C}^n \) に対するユークリッド内積（標準内積、通常の内積、スカラー積、ドット積）と呼ばれます。

ユークリッドノルム（通常のノルム、ユークリッド長さ）は実数値関数で、

\|x\|_2 = \sqrt{\langle x, x \rangle} = \sqrt{x^*x}

です。この関数の重要な性質として、非ゼロベクトル \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して \(\|x\|_2 > 0\) であり、任意のスカラー \( \alpha \in \mathbb{C} \) に対して \(\|\alpha x\|_2 = |\alpha| \|x\|_2\) があります。

内積 \( \langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n \to \mathbb{C} \) は、第一引数に対して線形、第二引数に対して共役線形です。すなわち、

\langle \alpha x_1 + \beta x_2, y \rangle = \alpha \langle x_1, y \rangle + \beta \langle x_2, y \rangle

\langle x, \alpha y_1 + \beta y_2 \rangle = \overline{\alpha} \langle x, y_1 \rangle + \overline{\beta} \langle x, y_2 \rangle

ベクトル空間 \( V \) 上の関数 \( f : V \times V \to \mathbb{C} \) が第一引数に線形、第二引数に共役線形であるとき、\( f \) は V 上の「半直積（sesquilinear）」であるといいます。さらに、任意の \( x \in V \) に対して \( f(x, x) \geq 0 \) ならば「半内積（semi-inner product）」、\( x \neq 0 \) に対して \( f(x, x) > 0 \) なら「内積」と呼ばれます。内積空間とは、ベクトル空間 \( V \) と、その上の内積 \( f \) からなる組 \( (V, f) \) です。