0.4.6 ランクの等式
ランクに関する基本的な等式には、以下のようなものがあります：
(a)
もし \( A \in M_{m,n}(\mathbb{C}) \) であれば、次が成り立ちます：
\operatorname{rank}(A^*) = \operatorname{rank}(A^T) = \operatorname{rank}(\overline{A}) = \operatorname{rank}(A)
(b)
もし \( A \in M_m(F) \)、\( C \in M_n(F) \) が正則（可逆）行列で、\( B \in M_{m,n}(F) \) であれば、
\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(B) = \operatorname{rank}(BC) = \operatorname{rank}(ABC)
つまり、正則行列による左右からの乗算はランクを変えません。
(c)
もし \( A, B \in M_{m,n}(F) \) であれば、次が成り立ちます：
\( \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B) \) であることと、
正則行列 \( X \in M_m(F) \)、\( Y \in M_n(F) \) が存在して \( B = XAY \) を満たすことは同値です。
(d)
もし \( A \in M_{m,n}(\mathbb{C}) \) であれば、
\operatorname{rank}(A^* A) = \operatorname{rank}(A)
(e) フルランク分解（Full-Rank Factorization）
もし \( A \in M_{m,n}(F) \) で、\(\operatorname{rank}(A) = k\) ならば、次のように分解できます：
A = XY^T
ただし、\( X \in M_{m,k}(F) \)、\( Y \in M_{n,k}(F) \) はそれぞれ列ベクトルが一次独立です。
また、同値な形として、ある正則行列 \( B \in M_k(F) \) を用いて、
A = XBY^T
と表すことも有用です。特に、
\( \operatorname{rank}(A) = 1 \) であることと、あるゼロでないベクトル \( x \in F^m \)、\( y \in F^n \) に対して
A = xy^T
と書けることは同値です。
(f)
もし \( A \in M_{m,n}(F) \)、\( \operatorname{rank}(A) = k \) であれば、正則行列 \( S \in M_m(F) \)、\( T \in M_n(F) \) が存在して、
A = S
\begin{bmatrix}
I_k & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
T
と表されます。
(g)
\( A \in M_{m,n}(F) \)、\( X \in M_{n,k}(F) \)、\( Y \in M_{m,k}(F) \) に対して、
\( W = Y^T A X \) が正則ならば、
\operatorname{rank}(A - A X W^{-1} Y^T A) = \operatorname{rank}(A) - \operatorname{rank}(A X W^{-1} Y^T A)
特に \( k = 1 \) のとき、これはウェダーバーンのランク1削減公式（Wedderburn’s rank-one reduction formula）となります：
もし \( x \in F^n \)、\( y \in F^m \)、\( \omega = y^T A x \ne 0 \) ならば、
\operatorname{rank}\left( A - \omega^{-1} A x y^T A \right) = \operatorname{rank}(A) - 1
逆に、ある \( \sigma \in F \)、\( u \in F^n \)、\( v \in F^m \) に対して
\operatorname{rank}(A - \sigma u v^T) < \operatorname{rank}(A)
であるならば、
\operatorname{rank}(A - \sigma u v^T) = \operatorname{rank}(A) - 1
であり、ある \( x \in F^n \)、\( y \in F^m \) が存在して、
u = A x, \quad v = A^T y, \quad y^T A x \ne 0, \quad \sigma = (y^T A x)^{-1}
が成り立ちます。
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