定理 2.3.4（実Schur標準形）
実行列 \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) に対して、以下の性質が成り立つ：
(a)
実正則行列 \( S \in M_n(\mathbb{R}) \) が存在して、\( S^{-1} A S \) が実の上三準三角行列になる：
\begin{bmatrix} A_1 & * & \cdots & * \\ 0 & A_2 & \cdots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_m \end{bmatrix} ここで各 \( A_i \) は 1×1 または 2×2 のブロックで、以下の性質を持つ：
- (i) 1×1の対角ブロックは \( A \) の実固有値を表す。
- (ii) 2×2の対角ブロックは \( A \) の共役な非実固有値の組を表す特別な形：
\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} ここで \( a, b \in \mathbb{R} \), \( b > 0 \) であり、\( a \pm ib \) は \( A \) の固有値である。
- (iii) これらの対角ブロックは \( A \) の固有値によって完全に決まり、任意の順序で並べることができる。
(b)
実直交行列 \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) が存在して、\( Q^\top A Q \) が実の上三準三角行列となり、以下の性質を持つ：
- (i) 1×1の対角ブロックは \( A \) の実固有値を表す。
- (ii) 2×2の対角ブロックは \( A \) の共役な非実固有値の組を表す（ただし(a)のような特別な形ではない）。
- (iii) 実固有値および非実固有値の順序は、指定された順序に従って対角ブロックに反映される。
証明
(a) 定理 (2.3.1) の証明では、任意の実固有対（固有値と固有ベクトル）に対して、実直交相似変換によって \( A \) を縮小する方法が示されている。この操作により、次のような形の実1×1の対角ブロックが得られる：
\begin{bmatrix} \lambda & * \\ 0 & A' \end{bmatrix} 問題 1.3.P33 では、非実の固有対 \( (\lambda, x) \) に対して、実類似変換によって次のように縮小する方法が述べられている：
\begin{bmatrix} B & * \\ 0 & A' \end{bmatrix} ここで \( B \) は(2.3.5a)の特別な形をした2×2の実対角ブロックである。有限回の縮小により、実正則行列 \( S \) を構成し、\( S^{-1} A S \) を上記のような上三準三角形に変換できる。
各ステップで選ぶ固有値と対応する固有ベクトルを工夫すれば、対角ブロックの順序も制御できる。
(b) 実固有値と非実共役対の順序があらかじめ与えられているとする。このとき、(a)の方法でその順序に従って \( S \) を構成し、次に(2.1.14)を用いて \( S = QR \) と分解する。ここで \( Q \) は実直交行列、\( R \) は実の上三角行列である。
行列 \( R \) を(2.3.5)の構造に従って分割し、次のように計算する：
S^{-1} A S = R^{-1} Q^\top A Q R \Rightarrow Q^\top A Q = R \begin{bmatrix} A_1 & * & \cdots & * \\ 0 & A_2 & \cdots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_m \end{bmatrix} R^{-1} = \begin{bmatrix} R_{11} A_1 R_{11}^{-1} & * & \cdots & * \\ 0 & R_{22} A_2 R_{22}^{-1} & \cdots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & R_{mm} A_m R_{mm}^{-1} \end{bmatrix} この結果得られる行列も上三準三角行列であり、1×1の対角ブロックは(2.3.5)のものと一致し、2×2の対角ブロックはそれに相似な形をとる。
コメント