定理 2.2.2 は、2つの行列がユニタリ類似であるための必要条件を与えますが、十分条件ではありません。 この条件は追加の等式と組み合わせることで、必要十分条件となります。その中で、次のような簡単な概念が重要な役割を果たします。
非可換な変数 \( s, t \) に対して、以下のような有限の積
W(s, t) = s^{m_1} t^{n_1} s^{m_2} t^{n_2} \cdots s^{m_k} t^{n_k}, \quad m_i, n_i \geq 0
を 語（word） と呼びます。この語の長さは、すべての指数の和、すなわち
m_1 + n_1 + m_2 + n_2 + \cdots + m_k + n_k
で定義される非負整数です。
次に、行列 \( A \in M_n \) に対して、語 \( W(s, t) \) に対応する行列の積
W(A, A^*) = A^{m_1} (A^*)^{n_1} A^{m_2} (A^*)^{n_2} \cdots A^{m_k} (A^*)^{n_k}
を定義します。ここで \( A \) と \( A^* \) は一般には可換でないため、積の順番を変更して簡略化することはできません。
今、\( A \) があるユニタリ行列 \( U \in M_n \) によって \( B \) とユニタリ類似である、すなわち \( A = UBU^* \) とします。このとき任意の語 \( W(s, t) \) に対して、以下が成り立ちます：
W(A, A^*) = UW(B, B^*)U^*
したがって、トレースをとると
\mathrm{tr}(W(A, A^*)) = \mathrm{tr}(W(B, B^*))
となります。例えば、\( W(s, t) = ts \) とすると、これは定理 2.2.2 における恒等式を再現します。
すべての語 \( W(s, t) \) を考慮すれば、2つの行列がユニタリ類似であるための無限個の必要条件が得られます。W. Specht の定理（証明省略）により、これらの必要条件は実は十分でもあることが保証されます。
定理 2.2.6（Spechtの定理）
2つの行列 \( A, B \in M_n \) がユニタリ類似であることと、次の等式が任意の語 \( W(s, t) \) に対して成り立つことは同値である：
\mathrm{tr}(W(A, A^*)) = \mathrm{tr}(W(B, B^*))
Specht の定理は、特定の語 \( W(s, t) \) に対してこの等式が破れることを示すことで、2つの行列がユニタリ類似でないことを証明する手段となります。ただし、一般の場合（特に 2.2.P6 で述べられるような例外を除き）、この定理を使ってユニタリ類似性を示すのは困難です。なぜなら、無限個の条件をすべて確認する必要があるからです。
幸いなことに、Specht の定理の精緻化（refinement）により、実際には有限個の語に対して条件を確認するだけで十分であることが保証されます。これにより、小さいサイズの行列に対しては、ユニタリ類似性を判断するための実用的な判定基準が得られます。
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