2.1.8ユニタリ行列群の性質

ユニタリ行列の集合の性質

\( M_n \) におけるユニタリ行列の集合（群）は、もう1つ非常に重要な性質を持っています。

行列列の「収束」や「極限」という概念は第5章で厳密に定義されますが、ここでは「成分ごとの収束」として理解してかまいません。

定義恒等式 \( U^*U = I \) によって、\( U \) の各列ベクトルのユークリッドノルムは 1 になります。したがって、\( U = [u_{ij}] \) の各成分の絶対値は 1 を超えることがありません。

ユニタリ行列の集合を \( \mathbb{C}^{n^2} \) の部分集合とみなすと、この集合は有界であることがわかります。

次に、\( k = 1, 2, \ldots \) に対しユニタリ行列の無限列 \( U_k = [u^{(k)}_{ij}] \) が与えられ、すべての \( i, j = 1, 2, \ldots, n \) において

\lim_{k \to \infty} u^{(k)}_{ij} = u_{ij}

が成り立つとします。このとき、すべての \( k \) に対して \( U_k^* U_k = I \) が成り立つことから、極限をとることで次が導かれます：

\lim_{k \to \infty} U_k^* U_k = U^* U = I

ここで \( U = [u_{ij}] \) とおくと、極限行列 \( U \) もユニタリ行列であることがわかります。つまり、ユニタリ行列の集合は \( \mathbb{C}^{n^2} \) における閉集合です。

さらに、付録Eで説明されるように、閉集合かつ有界集合はコンパクト集合であるため、\( M_n \) におけるユニタリ行列の集合（群）はコンパクト集合になります。

この観察から得られる最も重要な帰結は、次に述べる選択原理です。

\( U_1, U_2, \ldots \in M_n \) がユニタリ行列の無限列であるとします。このとき、次を満たす無限部分列 \( U_{k_1}, U_{k_2}, \ldots \)（ただし \( 1 \leq k_1 < k_2 < \cdots \)）が存在します：

すべての成分が、あるユニタリ行列の成分に収束する（複素数列として）ような部分列です。

必要なのは次の事実です。任意のコンパクト集合からは、常に収束部分列を選ぶことができます。

すでに、ユニタリ行列の列が極限を持つならば、その極限行列もまたユニタリであることを示しました。

この補題で保証されるユニタリ行列の極限は、一意であるとは限りません。選んだ部分列によって異なる可能性があります。

\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^k

と定義したとき、ある部分列の極限が2通り存在することを示しなさい。

ユニタリ行列 \( U \) は、逆行列 \( U^{-1} \) が共役転置 \( U^* \) に等しいという性質を持ちます。

このユニタリ性を一般化する1つの方法として、\( U^{-1} \) が \( U^* \) に類似（similar）であることを要求する方法があります。

このような行列の集合は、正則行列 \( A \in M_n \) に対して \( A \mapsto A^{-1} A^* \) という写像の像として簡単に特徴づけることができます。