定理 2.1.13
ベクトル \( x, y \in \mathbb{C}^n \) が与えられ、かつ \( \|x\|_2 = \|y\|_2 > 0 \) であるとします。このとき、もし \( y = e^{i\theta} x \)（ただし \( \theta \in \mathbb{R} \)）であれば、\( U(y, x) = e^{i\theta} I_n \) と定義します。そうでない場合は、\( x^* y = e^{i\varphi} |x^* y| \) となるような \( \varphi \in [0, 2\pi) \) を選びます（もし \( x^* y = 0 \) なら \( \varphi = 0 \) とします）。
次に、
w = e^{i\varphi} x - y
と定義し、ハウスホルダー行列 \( U_w \) を
U_w = I - 2(w^* w)^{-1} w w^*
と定めます。そして、
U(y, x) = e^{i\varphi} U_w
はユニタリ行列であり、実質的にエルミート行列でもあります。また、次の性質を満たします：
- \( U(y, x)x = y \)
- 任意の \( z \perp x \) に対して、\( U(y, x)z \perp y \)
さらに、もし \( x, y \) が実ベクトルであるなら、\( U(y, x) \) は実直交行列であり、\( y = x \) のとき \( U(y, x) = I \)、そうでなければ \( U(y, x) \) は実ハウスホルダー行列 \( U_{x - y} \) になります。
証明：
もし \( x, y \) が線形従属、すなわち \( y = e^{i\theta} x \) であるなら、主張は容易に確認できます。
\( x, y \) が線形独立なら、コーシー・シュワルツの不等式より \( x^*x \neq |x^* y| \) です。
以下のように計算します：
w^* w = (e^{i\varphi}x - y)^*(e^{i\varphi}x - y)\\
= x^*x - e^{-i\varphi} x^*y - e^{i\varphi} y^*x + y^*y\\
= 2(x^*x - \mathrm{Re}(e^{-i\varphi} x^* y)) = 2(x^*x - |x^* y|)
w^* x = e^{-i\varphi} x^*x - y^* x = e^{-i\varphi}(x^* x - |x^* y|)
そして、最終的に
e^{i\varphi} U_w x \\
= e^{i\varphi} \left( x - 2(w^* w)^{-1} w w^* x \right)\\
= e^{i\varphi}(x - (e^{i\varphi}x - y)) = y
さらに、もし \( z \perp x \) なら、
w^* z = -y^* z
なので、
y^* U(y, x) z \\
= e^{i\varphi} \left( y^* z - \frac{2}{\|x\|^2 - |x^* y|} y^* x \cdot (-y^* x) \right) \\= 0
したがって、\( z \perp x \) なら \( U(y, x) z \perp y \) です。
また、\( U_w \) はユニタリかつエルミートなので、\( U(y, x) = e^{i\varphi} U_w \) はユニタリかつ実質的にエルミートです。
演習：
- 単位ベクトル \( y \in \mathbb{C}^n \) が与えられ、\( e_1 \) を \( n \times n \) 単位行列の第1列とします。定理の方法で \( U(y, e_1) \) を構成し、その第1列が \( y \) になることを確認してください。
- 非ゼロベクトル \( x \in \mathbb{C}^n \) が与えられたとき、定理に基づいて構成される \( U(\|x\|_2 e_1, x) \) が、\( x \) を \( \|x\|_2 e_1 \) に写す実質的にエルミートなユニタリ行列であることを説明してください。
この後に示す QR 分解は、複素または実行列に対して理論的・計算的に非常に重要な役割を果たします。
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