0.3.3 基本的な行・列の操作（Elementary row and column operations）
行列（正方行列でなくてもよい）に対して、3種類の単純かつ基本的な操作、すなわち 基本行・列操作 を用いて、線形方程式の解法、ランクの決定、行列式や逆行列の計算を容易にする簡単な形に変形できます。
ここでは左から作用する行操作に焦点を当てます。列操作も同様に定義され、右から作用する行列によって実装されます。
タイプ1：2つの行の交換
\( i \ne j \) のとき、行列 \( A \) の第 \( i \) 行と第 \( j \) 行を交換する操作は、次のような行列を左から掛けることによって実現されます：
P_{ij} =
\begin{bmatrix}
1 & & & & & & \\
& \ddots & & & & & \\
& & 0 & \cdots & 1 & & \\
& & \vdots & \ddots & \vdots & & \\
& & 1 & \cdots & 0 & & \\
& & & & & \ddots & \\
& & & & & & 1
\end{bmatrix}
この行列では、対角成分 \( (i, i) \) および \( (j, j) \) に 0 が入り、非対角成分 \( (i, j) \) および \( (j, i) \) に 1 が入っています。それ以外の要素はすべて 0 または単位行列の成分です。
タイプ2：行のスカラー倍
行列 \( A \) の第 \( i \) 行を 0 でないスカラー \( c \) 倍する操作は、次のような行列を左から掛けることで実行されます：
D_i(c) =
\begin{bmatrix}
1 & & & \\
& \ddots & & \\
& & c & \\
& & & \ddots
\end{bmatrix}
ここで、対角成分のうち \( (i, i) \) のみに \( c \) が入り、他の対角成分はすべて 1、それ以外の要素はすべて 0 です。
タイプ3：他の行のスカラー倍を加える
\( i \ne j \) のとき、行列 \( A \) の第 \( i \) 行の \( c \) 倍を第 \( j \) 行に加える操作は、次のような行列を左から掛けることで実現されます：
E_{ji}(c) =
\begin{bmatrix}
1 & & & \\
& \ddots & & \\
& & 1 & \\
& \cdots & c & 1 \\
& & & \ddots
\end{bmatrix}
この行列では、\( (j, i) \) に \( c \) が入り、他の対角成分はすべて 1、その他の成分はすべて 0 です。上記の例は \( j > i \) の場合です。
補足事項
これらの3種類の基本行（または列）操作に対応する行列は、単位行列 \( I \) にそれぞれの操作を施すことで得られます（行操作では左から、列操作では右から掛ける）。
- タイプ1の操作は、行列式を \(-1\) 倍します。
- タイプ2の操作は、行列式をスカラー \( c \) 倍します（ただし \( c \ne 0 \)）。
- タイプ3の操作は、行列式を変えません。
ゼロ行（すべての要素が 0）のある正方行列の行列式は 0 です。また、行列のいくつかの行が線形従属であるとき、その行列の行列式も 0 です。
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