0.7.3 分割行列の逆行列
可逆な分割行列 A の逆行列において、対応するブロックを同様に分割形式で表現することが有用な場合があります。これは、A \(\in M_n(F)\) およびその逆行列 \(A^{-1}\) の特定の部分行列が可逆であることを前提としたうえで、様々な同値な形式で表現できます。単純化のため、A を 2x2 ブロック行列として次のように分割します:
A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}
ここで \(A_{ii} \in M_{n_i}(F), i = 1, 2\)、かつ \(n_1 + n_2 = n\) です。対応する分割形式での \(A^{-1}\) の表現の一例を次に示します(必要な逆行列の存在を仮定):
\begin{pmatrix} (A_{11} - A_{12} A_{22}^{-1} A_{21})^{-1} & -A_{11}^{-1} A_{12} (A_{22} - A_{21} A_{11}^{-1} A_{12})^{-1} \\ -(A_{22} - A_{21} A_{11}^{-1} A_{12})^{-1} A_{21} A_{11}^{-1} & (A_{22} - A_{21} A_{11}^{-1} A_{12})^{-1} \end{pmatrix}
この式は、A との分割行列の積を計算し簡約することで検証できます。
一般的な添字集合を用いると、以下のように書けます:
A^{-1}[\alpha] = \left( A[\alpha] - A[\alpha, \alpha^c] A[\alpha^c]^{-1} A[\alpha^c, \alpha] \right)^{-1}
また、
A^{-1}[\alpha, \alpha^c] = \left( A[\alpha]^{-1} A[\alpha, \alpha^c] A[\alpha^c]^{-1} A[\alpha^c, \alpha] - I \right)^{-1} A[\alpha, \alpha^c] A[\alpha^c]^{-1}
これらの表現は Schur 補行列と密接に関連しています(セクション 0.8.5 参照)。なお、\(A^{-1}[\alpha]\) は \(A^{-1}\) の部分行列であり、\(A[\alpha]^{-1}\) は \(A\) の部分行列の逆行列であるため、一般には一致しません。
0.7.4 Sherman–Morrison–Woodbury 公式
可逆行列 \(A \in M_n(F)\) があり、その逆行列 \(A^{-1}\) が既知であるとします。ここで、
B = A + XRY
と定義し、\(X\) は \(n \times r\)、\(Y\) は \(r \times n\)、\(R\) は可逆な \(r \times r\) 行列とします。\(B\) および \(R^{-1} + Y A^{-1} X\) が可逆であれば:
B^{-1} = A^{-1} - A^{-1} X (R^{-1} + Y A^{-1} X)^{-1} Y A^{-1}
\(r \ll n\) の場合、この公式は実用的で、\(B\) を直接反転するより効率的です。特に、\(x, y \in F^n\) が非零ベクトルで、\(X = x\)、\(Y = y^T\)、\(R = [1]\)、\(y^T A^{-1} x \neq -1\) とすると:
(A + x y^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{1}{1 + y^T A^{-1} x} A^{-1} x y^T A^{-1}
特に、\(B = I + x y^T\)、\(y^T x \neq -1\) のとき:
B^{-1} = I - \frac{1}{1 + y^T x} x y^T
0.7.5 相補零空間次元(complementary nullities)
\(A \in M_n(F)\) が可逆行列で、\(\alpha, \beta \subset \{1, \ldots, n\}\) を空でない部分集合とし、\(|\alpha| = r\)、\(|\beta| = s\) とします。このとき、相補零空間次元の法則は次のとおりです:
\text{nullity}(A[\alpha, \beta]) = \text{nullity}(A^{-1}[\beta^c, \alpha^c])
これは次の階数の恒等式と同値です:
\text{rank}(A[\alpha, \beta]) = \text{rank}(A^{-1}[\beta^c, \alpha^c]) + r + s - n
行と列を並び替えることで、\(A\) および \(A^{-1}\) を次のようにブロック形式で考えることができます:
A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}
このとき、(0.7.5.1) は次を意味します:
\text{nullity}(A_{11}) = \text{nullity}(B_{22})
この原理の要点は、A が可逆である限り、\(A_{11}\) の零空間の次元が \(B_{22}\) に反映されることです。同様に、\(\text{nullity}(A_{12}) = \text{nullity}(B_{12})\)、\(\text{nullity}(A_{21}) = \text{nullity}(B_{21})\)、\(\text{nullity}(A_{22}) = \text{nullity}(B_{11})\) なども成り立ちます。\(r + s = n\) のときは、\(\text{rank}(A_{11}) = \text{rank}(B_{22})\)、\(\text{rank}(A_{22}) = \text{rank}(B_{11})\) が成立します。また、\(n = 2r = 2s\) のとき、\(\text{rank}(A_{12}) = \text{rank}(B_{12})\)、\(\text{rank}(A_{21}) = \text{rank}(B_{21})\) も成立します。
最後に、(0.7.5.2) より、\(n \times n\) 可逆行列の \(r \times s\) 部分行列の階数は少なくとも \(r + s - n\) であることがわかります。
コメント