ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.2 ユニタリ類似であるための必要条件
定理 2.2.2 は、2つの行列がユニタリ類似であるための必要条件を与えますが、十分条件ではありません。 この条件は追加の等式と組み合わせることで、必要十分条件となります。その中で、次のような簡単な概念が重要な役割を果たします。非可換な変数...
ユニタリ類似性とユニタリ同値
ユニタリ類似性とユニタリ同値 ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.2 ユニタリ類似
2.2 ユニタリ類似 ユニタリ行列 \( U \) に対して \( U^* = U^{-1} \) が成り立つことから、写像 \( A \mapsto U^*AU \) はユニタリ行列による類似変換（similarity transform...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.1 問題集 (ユニタリ行列)
行列の定義\(A \in M_n(F)\) に対して、対称行列（symmetric）：\( A^T = A \)反対称行列（skew symmetric）：\( A^T = -A \)直交行列（orthogonal）：\( A^T A = ...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.1.14 QR分解
定理 2.1.14（QR分解）行列 \( A \in \mathbb{M}_{n,m} \) に対して、以下の性質が成り立ちます：\( n \geq m \) のとき、直交正規列を列にもつ行列 \( Q \in \mathbb{M}_{n,...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.1.13ユニタリ行列に関する定理
定理 2.1.13ベクトル \( x, y \in \mathbb{C}^n \) が与えられ、かつ \( \|x\|_2 = \|y\|_2 > 0 \) であるとします。このとき、もし \( y = e^{i\theta} x \)（た...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.1.10 補題：ユニタリ行列のブロック構造
補題 2.1.10：ユニタリ行列のブロック構造ユニタリ行列 \( U \in M_n \) を次のようにブロック分割します：U = \begin{bmatrix}U_{11} & U_{12} \\U_{21} & U_{22}\end{b...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.1.9定理（逆行列と共役転置の相似性）
定理 2.1.9：共役と類似\( A \in M_n \) が正則行列（可逆行列）であるとします。このとき、次の条件は同値です：\( A^{-1} \) が \( A^* \) に類似である。ある正則行列 \( B \in M_n \) が...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.1.8ユニタリ行列群の性質
ユニタリ行列の集合の性質\( M_n \) におけるユニタリ行列の集合（群）は、もう1つ非常に重要な性質を持っています。行列列の「収束」や「極限」という概念は第5章で厳密に定義されますが、ここでは「成分ごとの収束」として理解してかまいません...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.1.5ユークリッド等距変換
定義 2.1.5（ユークリッド等距変換）線形変換 \( T : \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^m \) がすべての \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して \( \|x\|_2 ...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.1.1 ユニタリ行列とQR分解
2.1 ユニタリ行列とQR分解定義 2.1.1ベクトルの列 \( x_1, \ldots, x_k \in \mathbb{C}^n \) が「直交する」とは、すべての \( i \ne j \) に対して \( x_i^* x_j = 0...