ユニタリ類似性とユニタリ同値

2.4.3 ケイリー–ハミルトンの定理任意の正方複素行列がその特性方程式を満たすという事実は、シュールの定理と、特定のゼロパターンを持つ三角行列の積に関する観察から導かれます。補題 2.4.3.1\( R = ,\ T = \in \mat...

2.4.2 Aの多項式の固有値行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) が固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) を持っていると仮定し、\( p(t) \) を任意の多項式とします。式 (...

2.4 シュールの三角化定理の帰結シュールのユニタリ三角化定理からは、さまざまな重要な結果を得ることができます。本節では、それらのいくつかを詳しく調べます。2.4.1 トレースと行列式行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) ...

問題2.3.P1\(x \in \mathbb{C}^n\) を与えられた単位ベクトルとし、\(x = \begin{bmatrix} x_1 \\ y^T \end{bmatrix}\) と書く。ただし、\(x_1 \in \mathbb...

定理 2.3.4（実Schur標準形）実行列 \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) に対して、以下の性質が成り立つ：(a)実正則行列 \( S \in M_n(\mathbb{R}) \) が存在して、\( S^{-1} ...

定理 2.3.3：可換な行列族のユニタリ三角化 \( M_n \) の非空の可換な行列族 \( F \subseteq M_n \) が与えられたとき、すべての \( A \in F \) に対して \( U^*AU \) が上三角行列とな...

2.3 ユニタリおよび実直交三角化初等的な行列理論において最も本質的に有用な事実の1つは、I. Schur による定理です。それによると、任意の正方複素行列 \( A \) は、任意の順序で \( A \) の固有値を対角成分にもつ三角行列...

問題2.2.P1\( A = \in M_n(\mathbb{R}) \) を対称だが対角行列ではないとし、\( i < j \) かつ \( |a_{ij}| = \max\{|a_{pq}| : p < q\} \) となるような添字 ...

定理 2.2.8： \( A, B \in M_n \) を行列とする。(a) \( A \) と \( B \) がユニタリ類似であることと、2つの非可換変数 \( s, t \) に関するすべての語 \( W(s, t) \) で、次の...