ユニタリ類似性とユニタリ同値 ★2.5 正規行列（Normal Matrices）
正規行列（Normal Matrices）ユニタリ類似（unitary similarity）の文脈で自然に現れる正規行列のクラスは、行列解析において広く重要な役割を果たします。正規行列には、ユニタリ行列、エルミート行列、反エルミート行列、...
ユニタリ類似性とユニタリ同値
ユニタリ類似性とユニタリ同値 
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.4問題（シュールの三角化定理の帰結）
問題2.4.P1行列 \( A = \in \mathbb{M}_n \) が異なる固有値を \( n \) 個持つと仮定する。式 (2.4.9.2) を用いて、ある \(\delta > 0\) が存在し、すべての行列 \( B = \i...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.4.11 完全な双直交性の原理
2.4.11 完全な双直交性の原理双直交性の原理とは、異なる固有値に対応する左固有ベクトルと右固有ベクトルが直交することを意味します（1.4.7(a)参照）。ここでは、左・右固有ベクトルに関するあらゆる可能性について考察します。定理 2.4...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.4.10 階数1の摂動による固有値の変化
2.4.10 階数1の摂動による固有値の変化ある行列の1つの固有値だけを任意に変化させ、他の固有値には影響を与えないようにできる場合があります。このような性質は、階数1の摂動によって実現されます。定理 2.4.10.1（A. ブラウアー）行...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.4.9 固有値の連続性
2.4.9 固有値の連続性Schur のユニタリ三角化定理は、次のような基本的かつ広く有用な事実の証明に利用できます。それは、実または複素の正方行列の固有値は、その成分に連続的に依存するということです。この証明では、Schur の定理におけ...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.4.8 可換な行列族と同時三角化
2.4.8 可換な行列族と同時三角化 ここでは、Schur の定理の可換族版 (2.3.3) を用いて、可換行列の固有値がある順序で「加法的」かつ「乗法的」であることを示します。定理 2.4.8.1. \( A, B \in M_n \) ...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.4.7 すべての正方行列はほとんど対角化可能である
2.4.7 すべての正方行列はほとんど対角化可能である Schur の結果を用いると、すべての複素数値正方行列が「ほとんど対角化可能」であることが、次の2つの意味で明確になります。1つ目は、任意の行列に対してそれに任意に近い対角化可能な行列...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.4.6 すべての正方行列はブロック対角化可能である
2.4.6 すべての正方行列はブロック対角化可能である以下の定理は (2.3.1) の応用かつ拡張であり、次章で扱うジョルダン標準形への重要な一歩となります。定理 2.4.6.1. \( A \in \mathbb{M}_n \) の異なる...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.4.5 シュールの三角化定理における一意性
2.4.5 シュールの三角化定理における一意性与えられた \( A \in \mathbb{M}_n \) に対して、ユニタリ類似によって得られる上三角行列 \( T \)（式 (2.3.1) における形）は一意であるとは限りません。つまり...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.4.4 シルベスターの定理と線形行列方程式
2.4.4 シルベスターの定理と線形行列方程式可換性に関連する方程式 \( AX - XA = 0 \) は、一般的に シルベスター方程式と呼ばれる線形行列方程式 \( AX - XB = C \) の特別な場合です。以下の定理は、任意の ...