2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.5 正規行列（Normal Matrices）
正規行列（Normal Matrices）
行列
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.4問題（シュールの三角化定理の帰結）
問題
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.4.11 完全な双直交性の原理
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.4.10 階数1の摂動による固有値の変化
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.4.9 固有値の連続性
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.4.8 可換な行列族と同時三角化
2.4.8 可換な行列族と同時三角化定理 2.4.8.1. \( A, B \in M_n \) が可換であるとする。このとき、\( A \) の固有値の順序を \( \alpha_1, \ldots, \alpha_n \)、\( B \...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.4.7 すべての正方行列はほとんど対角化可能である
定理 2.4.7.2. 任意の \( A \in M_n \) と \( \varepsilon > 0 \) に対し、正則行列 \( S_\varepsilon \in M_n \) が存在して、 S_\varepsilon^{-1} A...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.4.6 すべての正方行列はブロック対角化可能である
2.4.6 すべての正方行列はブロック対角化可能である
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.4.5 シュールの三角化定理における一意性
2.4.5 シュールの三角化定理における一意性与えられた \( A \in \mathbb{M}_n \) に対して、ユニタリ類似によって得られる上三角行列 \( T \)（式 (2.3.1) における形）は一意であるとは限りません。つまり...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.4.4 シルベスターの定理と線形行列方程式
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.4.3 ケイリー–ハミルトンの定理
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.4.2 Aの多項式の固有値
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.4.1 トレースと行列式
2.4 シュールの三角化定理の帰結シュールのユニタリ三角化定理からは、さまざまな重要な結果を得ることができます。本節では、それらのいくつかを詳しく調べます。
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.3問題
問題角化可能であるための十分条件ではあるが、必要条件ではないことを示せ。
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.3.6 定理：可換族の同時準三角化
2.3.6 定理：可換族の同時準三角化
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.3.4定理（実Schur標準形）
定理 2.3.4（実Schur標準形）実行列 \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) に対して、以下の性質が成り立つ：(a)実正則行列 \( S \in M_n(\mathbb{R}) \) が存在して、\( S^{-1} ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.3.3定理：可換な行列族のユニタリ三角化
定理 2.3.3：可換な行列族のユニタリ三角化\( M_n \) の非空の可換な行列族 \( F \subseteq M_n \) が与えられたとき、すべての \( A \in F \) に対して \( U^*AU \) が上三角行列となる...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.3.1ユニタリおよび実直交三角化
2.3 ユニタリおよび実直交三角化初等的な行列理論において最も本質的に有用な事実の1つは、I. Schur による定理です。それによると、任意の正方複素行列 \( A \) は、任意の順序で \( A \) の固有値を対角成分にもつ三角行列...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.2ユニタリ相似
定理 2.2.8： \( A, B \in M_n \) を行列とする。(a) \( A \) と \( B \) がユニタリ類似であることと、2つの非可換変数 \( s, t \) に関するすべての語 \( W(s, t) \) で、次の...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.2 ユニタリ相似であるための必要条件
定理 2.2.2 は、2つの行列がユニタリ類似であるための必要条件を与えますが、十分条件ではありません。 この条件は追加の等式と組み合わせることで、必要十分条件となります。その中で、次のような簡単な概念が重要な役割を果たします。非可換な変数...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.2 ユニタリ相似
2.2 ユニタリ類似 ユニタリ行列 \( U \) に対して \( U^* = U^{-1} \) が成り立つことから、写像 \( A \mapsto U^*AU \) はユニタリ行列による類似変換（similarity transform...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.1.14 QR分解
定理 2.1.14（QR分解）行列 \( A \in \mathbb{M}_{n,m} \) に対して、以下の性質が成り立ちます：\( n \geq m \) のとき、直交正規列を列にもつ行列 \( Q \in \mathbb{M}_{n,...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.1.13ユニタリ行列に関する定理
定理 2.1.13ベクトル \( x, y \in \mathbb{C}^n \) が与えられ、かつ \( \|x\|_2 = \|y\|_2 > 0 \) であるとします。このとき、もし \( y = e^{i\theta} x \)（た...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.1.10 補題：ユニタリ行列のブロック構造
補題 2.1.10：ユニタリ行列のブロック構造ユニタリ行列 \( U \in M_n \) を次のようにブロック分割します：U = \begin{bmatrix}U_{11} & U_{12} \\U_{21} & U_{22}\end{b...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.1.9定理（逆行列と共役転置の相似性）
定理 2.1.9：共役と類似\( A \in M_n \) が正則行列（可逆行列）であるとします。このとき、次の条件は同値です：\( A^{-1} \) が \( A^* \) に類似である。ある正則行列 \( B \in M_n \) が...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.1.8ユニタリ行列群の性質
ユニタリ行列の集合の性質\( M_n \) におけるユニタリ行列の集合（群）は、もう1つ非常に重要な性質を持っています。行列列の「収束」や「極限」という概念は第5章で厳密に定義されますが、ここでは「成分ごとの収束」として理解してかまいません...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.1.5ユークリッド等距変換
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.1.1 ユニタリ行列とQR分解
2.1 ユニタリ行列とQR分解2.1.4定理 2.1.4\( U \in M_n \) に対して、以下はすべて同値である：U はユニタリである。U は正則であり、\( U^{-1} = U^* \)。\( U U^* = I \)。\( U...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 削除 2.ユニタリ行列
2.0 はじめに第1章では、一般の正則行列 \( S \) を用いた \( A \in M_n \) の相似変換、すなわち \( A \to S^{-1}AS \) に関する初歩的な研究を行いました。ここで特別な正則行列である「ユニタリ行列...
行列 削除 1.1 固有値と固有ベクトルの方程式
1.1 固有値と固有ベクトルの方程式行列 \( A \in M_n \) は、複素ベクトル空間 \( \mathbb{C}^n \) から \( \mathbb{C}^n \) への線形変換として次のように定義できます：\ただし、行列を単な...