問題
2.2.P1
\( A = [a_{ij}] \in M_n(\mathbb{R}) \) を対称だが対角行列ではないとし、\( i < j \) かつ \( |a_{ij}| = \max\{|a_{pq}| : p < q\} \) となるような添字 \( i, j \) を選ぶ。 次に、角度 \(\theta\) を次の関係式で定める：
\cot 2\theta = \frac{a_{ii} - a_{jj}}{2a_{ij}}
このとき、\(U(\theta; i,j)\) を平面回転（2.1.11式）とし、次のように定義する：
B = U(\theta; i,j)^T A U(\theta; i,j) = [b_{pq}]
以下を示せ：
\(b_{ij} = 0\)
\sum_{p,q=1}^n |b_{pq}|^2 = \sum_{p,q=1}^n |a_{pq}|^2
\sum_{p \ne q} |b_{pq}|^2 = \sum_{p \ne q} |a_{pq}|^2 - 2|a_{ij}|^2
\le \left(1 - \frac{2}{n^2 - n}\right) \sum_{p \ne q} |a_{pq}|^2
このように、各ステップで最大の非対角成分を打ち消す平面回転を行う実数直交類似変換の列を取ると、行列は最終的に対角行列に収束し、その対角成分は行列 \(A\) の固有値となる。対応する固有ベクトルは、この過程の副産物として得られる。この方法は実対称行列の固有値を計算するヤコビ法である。
実際には、ヤコビ法は三角関数やその逆関数を用いずに実装される。詳細は Golub and Van Loan (1996) を参照せよ。
2.2.P2
Givensの固有値計算法も平面回転を用いるが、その使い方は異なる。\( n \ge 3 \) とする。
すべての実行列 \(A = [a_{ij}] \in M_n(\mathbb{R})\) が、実下ヘッセンベルグ行列と直交類似であることを以下に示せ。特に、\(A\) が対称なら、その下ヘッセンベルグ行列は三重対角行列である（(0.9.9)、(0.9.10) 参照）。
まず、先の問題と同様に、1,3成分を0にするような平面回転 \(U_{1,3} = U(\theta; 1,3)\) を選ぶ。次に、\(U_{1,4} = U(\theta; 1,4)\) を選んで \(U_{1,4}^T(U_{1,3}^T A U_{1,3}) U_{1,4}\) の1,4成分を0にする。この操作を繰り返して第1行の残りをすべて0にする。
次に第2行に進み、2,4成分から始めて2,4, 2,5, ..., 2,n成分を0にする。
この操作がすでに作成した0成分を壊さず、かつ \(A\) が対称ならその対称性を保つ理由を説明せよ。
このようにして \(n-3\) 行目まで進めば、有限回の平面回転による実直交類似変換で下ヘッセンベルグ行列が得られる。もし \(A\) が対称であれば、その行列は三重対角となる。
ただし、この方法ではヤコビ法のように固有値が即座に得られるわけではない。さらなる計算が必要である。
2.2.P3
\( A \in M_2 \) とする。
(a) (2.2.8b) にある3つの語 \(W\) に対して、次を示せ：
\mathrm{tr}\, W(A, A^*) = \mathrm{tr}\, W(A^T \overline{A})
(b) 任意の2×2複素行列はその転置行列とユニタリ類似であることを示せ。
2.2.P4
\( A \in M_3 \) とする。
(a) (2.2.8c) にある最初の6語 \(W \) に対して、以下を示し、次の同値性を結論せよ：
\mathrm{tr}\, W(A, A^*) = \mathrm{tr}\, W(A^T \overline{A})
\Leftrightarrow A \text{ は } A^T \text{ とユニタリ類似}
(b)
A \text{ が } A^T \text{ とユニタリ類似}
\Leftrightarrow \mathrm{tr}(AA^*(A^*A - AA^*)A^*A) = 0
(c) (b) または (a) の判定法を用いて、次の行列がその転置とユニタリ類似でないことを示せ：
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
-1 & 0 & 1 \\
-1 & -1 & -1
\end{bmatrix}
ただし、任意の正方複素行列はその転置と相似（similar）であることに注意せよ（3.2.3参照）。
2.2.P5
\( A \in M_n \) であり、あるユニタリ行列 \( U \in M_n \) が存在して
A^* = UAU^*
を満たすとする。このとき、\( U \) は \( A + A^* \) と可換であることを示せ。
この観察結果を前問の 3×3 行列に適用し、その行列が転置とユニタリ類似であるならば、ユニタリ類似変換を行うユニタリ行列は対角行列でなければならないことを結論せよ。
そして、どのような対角ユニタリ行列もこの行列をその転置に変換できないことを示し、その結果この行列は転置とユニタリ類似でないことを導け。
2.2.P6：ユニタリ類似性に関する条件
\( A \in M_n \)、\( B, C \in M_m \) とします。(2.2.6) または (2.2.8) を用いて、次のいずれかの条件が成り立つとき、\( B \) と \( C \) はユニタリ類似（unitarily similar）であること、そしてその逆も成り立つことを示してください。
(a) 次の2つの行列がユニタリ類似である：
\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & C \end{bmatrix} (b) \( B \oplus \cdots \oplus B \) と \( C \oplus \cdots \oplus C \) がユニタリ類似である。ただし、どちらの直和も同じ数の直和項を含むとします。
(c) \( A \oplus B \oplus \cdots \oplus B \) と \( A \oplus C \oplus \cdots \oplus C \) がユニタリ類似である。ただし、どちらの直和も同じ数の \( B \) または \( C \) を含むとします。
2.2.P7：ユニタリ類似ではないが恒等式を満たす例
恒等式 (2.2.2) を満たすが、ユニタリ類似ではない 2×2 行列の例を挙げ、それがなぜユニタリ類似でないのかを説明してください。
2.2.P8：交換子の性質
\( A, B \in M_2 \) とし、\( C = AB - BA \) と定義します。例 2.2.3 を用いて、あるスカラー \( \lambda \) が存在して \( C^2 = \lambda I \) となることを示してください。
2.2.P9
\( A \in M_n \) であり、かつ \( \mathrm{tr}\,A = 0 \) であると仮定します。式 (2.2.3) を用いて、\( A \) が2つの冪零行列（nilpotent matrix）の和として表せることを示してください。
逆に、もし \( A \) が冪零行列の和として表せるならば、なぜ \( \mathrm{tr}\,A = 0 \) が成り立つのかを説明してください。
2.2.P10
\( n \geq 2 \) を満たす整数とし、\( \omega = e^{2\pi i / n} \) と定義します。
(a)
次の式が成り立つ理由を説明してください：
\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{k\ell} =
\begin{cases}
0 & \text{if } \ell \not\equiv 0 \pmod{n} \\
n & \text{if } \ell = mn,\; m \in \mathbb{Z}
\end{cases}
(b)
\( F_n = n^{-1/2}[\omega^{(i-1)(j-1)}]_{i,j=1}^n \) と定義される \( n \times n \) のフーリエ行列について、次のことを示してください：
- \( F_n \) は対称行列である。
- \( F_n \) はユニタリ行列である。
- \( F_n \) は自己逆行列（coninvolutory）であり、以下が成り立つ：
F_n F_n^* = F_n^* F_n = I
(c)
\( C_n \) を基本巡回置換行列（式 0.9.6.2）とします。\( C_n \) がユニタリ（すなわち実直交）である理由を説明してください。
(d)
\( D = \mathrm{diag}(1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}) \) とするとき、次を示してください：
C_n F_n = F_n D \Rightarrow C_n = F_n D F_n^*,\quad C_n^k = F_n D^k F_n^* \quad (k = 1, 2, \dots)
(e)
\( A \) を式 (0.9.6.1) のような巡回行列とし、先頭行が \([a_1, \dots, a_n]\) であり、式 (0.9.6.3) による和として表されているとします。このとき、次を示してください：
A = F_n \Lambda F_n^*
ただし、\( \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \) で、\( A \) の固有値 \( \lambda_\ell \) は次の式で与えられます：
\lambda_\ell = \sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} \omega^{k(\ell - 1)}, \quad \ell = 1, \dots, n
さらに、\( \lambda_1, \dots, \lambda_n \) はベクトル \( n^{1/2} F_n^* A e_1 \) の成分でもあります。つまり、フーリエ行列はすべての巡回行列に対して明示的なユニタリ対角化を与えます。
(f)
ある \( i \in \{1, \dots, n\} \) に対して、次が成り立つとします：
|a_i| > \sum_{j \ne i} |a_j|
このとき式 (2.2.9) から \( A \) が正則（nonsingular）であることを導いてください。逆にこの基準を次のように言い換えることもできます：
巡回行列 \( A \) が特異（singular）であり、先頭行が \([a_1, \dots, a_n]\) であるならば、その行ベクトルはバランスしている（balanced）必要があります。詳細は (7.2.P28) を参照。
(g)
\( F_n = C_n + i S_n \) と表されるとき、\( C_n \) および \( S_n \) は実行列です。これらの行列の成分を求めてください。また、行列 \( H_n = C_n + S_n \) を \( n \times n \) のハートレー行列（Hartley matrix）と呼びます。
(h)
次のことを示してください：
C_n^2 + S_n^2 = I,\quad C_n S_n = S_n C_n = 0
さらに、\( H_n \) は対称行列であり、実直交行列です。
(i)
\( K_n \) を反転行列（reversal matrix, 式 0.9.5.1）とします。このとき、次の性質を示してください：
C_n K_n = K_n C_n = C_n,\quad S_n K_n = K_n S_n = -S_n,\quad H_n K_n = K_n H_n
したがって、\( C_n, S_n, H_n \) は中心対称（centrosymmetric）行列です。
また、任意の行列 \( A = E + K_n F \) において、\( E, F \) は実巡回行列、\( E = E^\mathrm{T}, F = -F^\mathrm{T} \) であるとします。このとき \( H_n A H_n = \Lambda \) は対角行列であり、\( A \) の固有値はベクトル \( n^{1/2} H_n A e_1 \) の成分に等しくなります。
特に、ハートレー行列 \( H_n \) はすべての実対称巡回行列に対して明示的な実直交対角化を提供します。
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