2.1 問題集 (ユニタリ行列)

ユニタリ類似性とユニタリ同値
2025.08.01

行列の定義

\(A \in M_n(F)\) に対して、

  • 対称行列（symmetric）：
    \( A^T = A \)
  • 反対称行列（skew symmetric）：
    \( A^T = -A \)
  • 直交行列（orthogonal）：
    \( A^T A = I \)

また、複素数体上の行列 \(A \in M_n(\mathbb{C})\) については、

  • エルミート行列（Hermitian）：
    \( A^* = A \)
  • 反エルミート行列（skew Hermitian）：
    \( A^* = -A \)
  • ユニタリ行列（unitary）：
    \( A^* A = I \)
  • 正規行列（normal）：
    \( A^* A = A A^* \)

と定義されます。

問題集

2.1.問題1

\( U \in M_n \) がユニタリ行列であるとき、\(|\det U| = 1\) であることを示せ。

2.1.問題2

\( U \in M_n \) がユニタリ行列で、\( \lambda \) を \( U \) の固有値とする。以下を示せ：

  1. \( |\lambda| = 1 \)
  2. \( x \) が \( \lambda \) に対応する \( U \) の右固有ベクトルであることと、\( x \) が左固有ベクトルであることは同値である。

2.1.問題3

実数パラメータ \( \theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_n \) が与えられているとき、

U = \mathrm{diag}(e^{i\theta_1}, e^{i\theta_2}, \ldots, e^{i\theta_n})

がユニタリ行列であることを示せ。また、すべての対角ユニタリ行列はこの形で表されることを示せ。

2.1.問題4

実対角直交行列の特徴付けをせよ。

2.1.問題5

\( M_n \) における置換行列（0.9.5）が実直交行列の群の部分群（つまり自分自身が群となる部分集合）であることを示せ。
\( M_n \) における異なる置換行列は何通りあるか？

2.1.問題6

3×3直交群のパラメトリックな表示を与えよ。2×2直交群の2つの表示は (2.1.5) に続く演習に示されている。

2.1.問題7

\( A, B \in M_n \)、かつ \( AB = I \) と仮定する。このとき \( BA = I \) を導く議論を詳細に示せ：

任意の \( y \in \mathbb{C}^n \) は \( y = A(By) \) と書けるので、\(\mathrm{rank} A = n\)、したがって \(\dim(\mathrm{null}(A)) = 0 \)（0.2.3.1より）。

次に次のように計算する：

A(AB - BA) = A(I - BA) \\= A - (AB)A = A - A = 0

よって、\( AB - BA = 0 \)。

2.1.問題8

\( A \in M_n \) が複素直交行列とは \( A^T A = I \) を満たすときである。

  1. 複素直交行列がユニタリであるための必要十分条件は、それが実行列であることであることを示せ。
  2. \( S =\begin{bmatrix}0 & 1 \\-1 & 0\end{bmatrix}\in _2(\mathbb{R}) \) とする。
    次の行列：
A(t) = (\cosh t) I + i (\sinh t) S

が任意の \( t \in \mathbb{R} \) に対して複素直交行列であることを示せ。ただし、\( A(t) \) がユニタリとなるのは \( t = 0 \) のときに限ることも示せ。双曲線関数の定義は以下の通り：

  • \( \cosh t = \frac{e^t + e^{-t}}{2} \)
  • \( \sinh t = \frac{e^t - e^{-t}}{2} \)
  • ユニタリ行列の集合とは異なり、複素直交行列の集合は有界ではないこと、したがってコンパクトでもないことを示せ。
  • 同じサイズの複素直交行列の集合は群を成すことを示せ。一方、実直交行列の集合はその部分群であり、コンパクトである。
  • \( A \in M_n \) が複素直交行列ならば、\( |\det A| = 1 \) であることを示せ。特に上記の \( A(t) \) を使って、固有値 \( \lambda \) が \( |\lambda| \ne 1 \) を持つ場合があることを示せ。
  • \( A \in M_n \) が複素直交行列ならば、\( \overline{A}, A^T, A^* \) もまた複素直交行列であり、正則であることを示せ。\( A \) の行（または列）は直交しているか？
  • 対角複素直交行列を特徴づけよ。2.1.P4と比較せよ。
  • \( A \in M_n \) が複素直交かつユニタリであるための必要十分条件は、\( A \) が実直交であることであることを示せ。

2.1.問題9

\( U \in M_n \) がユニタリであるとき、\( \overline{U}, U^T, U^* \) もすべてユニタリであることを示せ。

2.1.問題10

\( U \in M_n \) がユニタリであるとき、任意の \( x, y \in \mathbb{C}^n \) に対して、\( x \) と \( y \) が直交している ⇔ \( Ux \) と \( Uy \) が直交している、が成り立つことを示せ。

2.1.問題11

正則行列 \( A \in M_n \) が斜直交行列（skew orthogonal）であるとは、\( A^{-1} = -A^T \) が成り立つときである。以下を示せ：

  • \( A \) が斜直交 ⇔ \( \pm iA \) が直交行列。
  • より一般に、\( \theta \in \mathbb{R} \) に対して、\( A^{-1} = e^{i\theta} A^T \) ⇔ \( e^{i\theta/2}A \) が直交行列。
  • このとき、\( \theta = 0 \)、および \( \theta = \pi \) の場合に何が起こるか。

2.1.問題12

\( A \in M_n \) があるユニタリ行列と相似であるならば、\( A^{-1} \) は \( A^* \) と相似であることを示せ。

2.1.問題13

\( \mathrm{diag}(2, \tfrac{1}{2}) \in M_2 \) を考える。ユニタリ行列と相似な行列の集合が、\( A^{-1} \) が \( A^* \) と相似であるようなすべての行列の集合の真部分集合であることを示せ。

2.1.問題14

\( M_n \) におけるユニタリ行列の群と、複素直交行列の群の交差が、実直交行列の群であることを示せ。

2.1.問題15

\( U \in M_n \) がユニタリで、\( \alpha \subset \{1, \dots, n\} \)、かつ \( U[\alpha, \alpha^c] = 0 \)（0.7.1）であるとき、以下を示せ：

  • \( U[\alpha^c, \alpha] = 0 \)
  • \( U[\alpha] \)、および \( U[\alpha^c] \) はともにユニタリである。

2.1.問題16

\( x, y \in \mathbb{R}^n \) が与えられた一次独立な単位ベクトルとし、\( w = x + y \) と定義する。

Palais 行列 \( P_{x,y} \) を次のように定義する：

P_{x,y} = I - \frac{2}{w^T w}ww^T + 2yx^T

以下を示せ：

  1. \( P_{x,y} = (I - \frac{2}{w^T w}ww^T)(I - 2xx^T) = U_w U_x \) は 2つの実ハウスホルダー行列の積であり、したがって実直交行列である。
  2. \(\det P_{x,y} = +1\) なので、これは常に正の回転行列（proper rotation）である。
  3. \( P_{x,y} x = y \)、かつ \( P_{x,y} y = -x + 2(x^T y)y \) である。
  4. \( z \in \mathbb{R}^n \) が \( x \) および \( y \) に直交しているとき、\( P_{x,y} z = z \)。
  5. \( P_{x,y} \) は \( \mathrm{span}\{x, y\}^\perp \) 上では恒等作用をし、2次元部分空間 \( \mathrm{span}\{x, y\} \) 上では正回転として作用し、\( x \) を \( y \) に写す。
  6. \( n = 3 \) のとき、\( P_{x,y} \) は \( x \) を \( y \) に写しつつ、\( x \times y \) を不変にする唯一の正回転行列である理由を説明せよ。
  7. \( P_{x,y} \) の固有値は \( x^T y \pm i \sqrt{1 - (x^T y)^2} = e^{\pm i\theta}, 1, \dots, 1 \) であり、ここで \( \cos\theta = x^T y \)。

2.1.問題17

\( A \in M_{n,m} \)、\( n \geq m \)、かつ \(\mathrm{rank}(A) = m \) とする。

このとき、A の列に左から右へとグラム–シュミット法を適用する手順を記述せよ。

この操作により、列ベクトルごとに次のような明示的な分解 \( A = QR \) が得られる理由を説明せよ：

  • \( Q \in M_{n,m} \) は直交化された列をもつ行列
  • \( R \in M_m \) は上三角行列

この分解は式 (2.1.14) における QR分解とどのように関連するか？

2.1.問題18

\( A \in M_n \) を \( A = QR \) と分解し、列ごとに \( A = [a_1 \dots a_n] \)、\( Q = [q_1 \dots q_n] \)、\( R = [r_{ij}]_{i,j=1}^n \) とする。

  1. 各 \( k = 1, \dots, n \) に対し、\( \{q_1, \dots, q_k\} \) が \( \{a_1, \dots, a_k\} \) の張る部分空間の直交基底であることを示せ。
  2. 各 \( k = 2, \dots, n \) に対し、\( r_{kk} \) は \( a_k \) と \( \mathrm{span}\{a_1, \dots, a_{k-1}\} \) とのユークリッド距離であることを示せ。

2.1.問題19

\( X = [x_1 \dots x_m] \in M_{n,m} \)、\(\mathrm{rank}(X) = m\)、かつ QR分解 \( X = QR \) をもつとする。

\( Y = QR^{-∗} = [y_1 \dots y_m] \) と定義する：

  1. \( Y \) の列ベクトルは \( S = \mathrm{span}\{x_1, \dots, x_m\} \) の基底であり、\( Y^* X = I_m \) なので、\( y_i^* x_j = \delta_{ij} \)、\( y_i^* x_i = 1 \)。
    このとき、\( y_1, \dots, y_m \) は \( x_1, \dots, x_m \) の双対基底（reciprocal basis）である。
  2. 双対基底は一意であることを示せ。すなわち、\( Z \in M_{n,m} \) の列が \( S \) に属し、かつ \( Z^* X = I \) ならば、\( Z = Y \)。
  3. \( y_1, \dots, y_m \) の双対基底は \( x_1, \dots, x_m \) であることを示せ。
  4. \( n = m \) のとき、\( X^{-*} \) の列は \( \mathbb{C}^n \) の基底であり、それは \( x_1, \dots, x_n \) の双対基底であることを示せ。

2.1.問題20

\( U \in M_n \) がユニタリであるとき、余因子行列（adjugate）について次を示せ：

\mathrm{adj}(U) = (\det U) U^*

よって \( \mathrm{adj}(U) \) もユニタリであることを結論せよ。

2.1.問題21

式 (2.1.10) において、「ユニタリ」を「複素直交」に置き換えても成立することを説明せよ。

また、複素直交行列が上三角行列である ⇔ 対角行列であることを示せ。

そのような対角複素直交行列はどのような形をしているか？

2.1.問題22

\( X, Y \in M_{n,m} \) が直交な列を持つ行列であるとする。次を示せ：

\( X \) と \( Y \) の列空間が一致する ⇔ \( X = YU \) を満たすユニタリ行列 \( U \in M_m \) が存在する。

2.1.問題23

\( A \in M_n \) を QR 分解し、\( A = QR \)、かつ列に分割して \( A = [a_1 \dots a_n] \)、\( Q = [q_1 \dots q_n] \)、\( R = [r_1 \dots r_n] \)、さらに \( R = [r_{ij}] \) とする。

以下を説明せよ：

  • \( |\det A| = \det R = r_{11} \cdots r_{nn} \)
  • \( \|a_i\|_2 = \|r_i\|_2 \ge r_{ii} \)、かつ 等号が成立するのは \( a_i = r_{ii} q_i \) のときに限る。

このことから、Hadamardの不等式：

|\det A| \le \prod_{i=1}^{n} \|a_i\|_2

が導かれる。ただし、等号成立条件は次のいずれか：

  1. \( a_i = 0 \)となる\(a_i\)がある。
  2. \( A \) の列が互いに直交している（すなわち \( A^* A = \mathrm{diag}(\|a_1\|^2, \dots, \|a_n\|^2) \)）

2.1.問題24

行列 \( E = [e_{ij}] \in M_3 \) を考えます。ここで各成分 \( e_{ij} = +1 \) です。

(a) 行列 \( E \) のパーマネント（permanent）を計算し、\(\mathrm{per}\, E = 6\) であることを示してください。

(b) 行列 \( B = [b_{ij}] \in M_3 \) を考えます。各成分は \( b_{ij} = \pm 1 \) です。ハダマードの不等式を用いて、符号の選び方に関わらず、\(\mathrm{per}\, E = \det B\) となることはないことを示してください。

2.1.問題25

ユニタリ行列 \( U \in M_n \) と整数 \( r \in \{1, \ldots, n\} \) に対し、複合行列（compound matrix） \( C_r(U) \) がユニタリである理由を説明してください。

2.1.問題26

(a) 任意の行列 \( A \in M_n \) は、ハウスホルダー行列 \( H_1, \ldots, H_{n-1} \) と上三角行列 \( R \) を用いて、次のように分解できることを説明してください：

A = H_1 H_2 \cdots H_{n-1} R

(b) 任意のユニタリ行列 \( U \in M_n \) は、ハウスホルダー行列 \( H_1, \ldots, H_{n-1} \) と対角ユニタリ行列 \( D \) を用いて、次のように分解できることを説明してください：

U = H_1 H_2 \cdots H_{n-1} D

(c) 実直交行列 \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) は、実ハウスホルダー行列 \( H_1, \ldots, H_{n-1} \) と次のような対角行列 \( D \) を用いて分解できることを説明してください：

Q = H_1 H_2 \cdots H_{n-1} D \\
\quad \text{ただし} \quad
D = \mathrm{diag}(1, \ldots, 1, \pm 1) \\= \mathrm{diag}(1, \ldots, 1, (-1)^{n-1} \det Q)

以下の3問は、ハウスホルダー行列の代わりに平面回転（plane rotations）を用いる類似問題です。

2.1.問題27

自然数 \( n \geq 2 \) とベクトル \( x = [x_i] \in \mathbb{R}^n \) を考えます。

\( x_n = x_{n-1} = 0 \) ならば \(\theta_1 = 0\) とします。そうでなければ、\(\theta_1 \in [0, 2\pi)\) を次の条件で選びます：

\cos \theta_1 = \frac{x_{n-1}}{\sqrt{x_n^2 + x_{n-1}^2}},\\ 
\sin \theta_1 = -\frac{x_n}{\sqrt{x_n^2 + x_{n-1}^2}}

このとき、ベクトル

x^{(1)} = U(\theta_1; n-1, n) x

について、成分 \( x^{(1)}_n = 0 \) かつ

\( x^{(1)}_{n-1} \geq 0 \) となることを示してください。

さらに、

x^{(2)} = U(\theta_2; n-2, n-1) U(\theta_1; n-1, n) x

があり、\(\theta_2\) をどのように選べば \( x^{(2)}_n = x^{(2)}_{n-1} = 0 \) かつ \( x^{(2)}_{n-2} \geq 0 \) となるかを説明してください。

一般に、\(1 \leq k < n\) であるとき、平面回転の列 \( U_1, \ldots, U_k \) を構成し、

x^{(k)} = U_k \cdots U_1 x

が成分 \( x^{(k)}_n = \cdots = x^{(k)}_{n-k+1} = 0 \) かつ \( x^{(k)}_{n-k} \geq 0 \) を満たすようにできる理由を説明してください。

また、なぜノルムの保存 \(\|x\|_2 = \|x^{(k)}\|_2\) が成り立つかも説明してください。

2.1.問題28

実行列 \( A \in M_{n,m}(\mathbb{R}) \) （\( n \geq m \)）について：

(a) 有限個の平面回転行列 \( U_1, \ldots, U_N \) を構成し、

U_N \cdots U_1 A =
\begin{bmatrix}
B \\
0
\end{bmatrix}

とし、ここで \( B = [b_{ij}] \in M_m(\mathbb{R}) \) は上三角行列、各対角成分 \( b_{11}, \ldots, b_{m-1,m-1} \) は非負であることを説明してください。

(b) この上三角行列への変換が、\( N = m(n - m + 1)/2 \) 個の平面回転で可能である理由を説明してください。ただし、いくつかは恒等変換である場合があり、非自明な回転は \( N \) 未満でもよいことに注意してください。

(c) (a) を用いて、任意の実正方行列 \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) は次のように分解できることを証明してください：

A = U_1 \cdots U_N R
\quad
(N = n(n-1)/2)

ここで、各 \( U_i \) は平面回転、\( R = [r_{ij}] \) は上三角行列、\( r_{11}, \ldots, r_{n-1,n-1} \) は非負（ただし必ずしも \( r_{nn} \) ではない）です。

2.1.問題29

任意の実直交行列 \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) は次のように分解できる理由を説明してください：

Q = U_1 \cdots U_N D
\quad
(N = n(n-1)/2)

ここで、各 \( U_i \) は平面回転行列、\( D = \mathrm{diag}(1, \ldots, 1, \det Q) = \mathrm{diag}(1, \ldots, 1, \pm 1) \in M_n(\mathbb{R}) \) です。

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