2. ユニタリ行列

2.0 はじめに

第1章では、一般の正則行列 \( S \) を用いた \( A \in M_n \) の相似変換、すなわち \( A \to S^{-1}AS \) に関する初歩的な研究を行いました。ここで特別な正則行列である「ユニタリ行列」と呼ばれるものについて考えます。このとき、ユニタリ行列 \( S \) に対しては、その逆行列が共役転置と一致し、すなわち \( S^{-1} = S^* \) となります。

ユニタリ行列 \( U \) による相似変換 \( A \to U^*AU \) は、一般的な相似変換よりも概念的に単純です（共役転置は逆行列よりも計算が容易です）。さらに、数値計算において優れた安定性を持ちます。

ユニタリ相似変換の基本的な性質のひとつとして、任意の \( A \in M_n \) に対して、Aはユニタリ相似で対角成分が \( A \) の固有値となる上三角行列に変換できるというものがあります。この上三角形の形式は、一般的な相似変換の下でさらに洗練された形にすることができます。これについては第3章で詳しく扱います。

また、\( S \) が正則であるがユニタリである必要のない変換 \( A \to S^*AS \) は、「*合同 (*congruence)」と呼ばれ、第4章で取り扱います。なお、ユニタリ行列による相似変換は、「相似変換」と「*合同」の両方の性質を備えています。

さらに、\( A \in M_{n,m} \) に対して、ユニタリ行列 \( U \in M_m \)、\( V \in M_n \) を用いた変換 \( A \to UAV \) は「ユニタリ同値 (unitary equivalence)」と呼ばれます。ユニタリ相似で得られる上三角形形式は、ユニタリ同値変換により大幅に洗練され、長方形行列にも一般化されます。

任意の \( A \in M_{n,m} \) は、ユニタリ同値により、非負の対角成分を持つ対角行列に変換できます。この対角成分は \( A \) の特異値 (singular values) と呼ばれ、非常に重要な意味を持ちます。