[行列解析2.6.p39]共反転行列の特異値の構造

2.6.P39

2.6.問題39

\(A \in M_n\) が共反転行列 (coninvolutory) で、すなわち \(A\) が正則で \(A = \bar A^{-1}\) であるとする。

1 でない \(A\) の特異値が互いに逆数のペアで現れる理由を説明せよ。

条件 \(A = \bar A^{-1}\) から、両辺に適切な共役や転置を施すことで \(A^* A\) の形を調べる。
特異値は \(A^* A\) の固有値の正の平方根であることを用いる。

もし \(\lambda\) が \(A^* A\) の固有値であれば、その逆数も固有値になることを示せばよい。

\(A\) は共反転行列であるから、

A = \bar A^{-1}

が成り立つ。両辺の共役転置をとると、

A^* = ( \bar A^{-1} )^*

である。ここで \((\bar A)^* = A^{\top}\) であることを用いると、

A^* = (A^{-1})^{\top}

を得る。したがって

A^* A = (A^{-1})^{\top} A

となる。

いま \(\lambda > 0\) を \(A^* A\) の固有値とし、対応する固有ベクトルを \(x\) とする。すなわち \( A^* A x = \lambda x \) である。

両辺に \(A^{-1}\) を左から掛けると、

A^{-1} A^* A x = \lambda A^{-1} x

となる。ここで上の関係式を用いて整理すると、 \( A A^* = (A^* A)^{-1} \) が成り立つことが分かる。

実際、 \(A = \bar A^{-1}\) より \( \bar A = A^{-1} \) であるから、

A^* A = (\bar A)^{\top} A = (A^{-1})^{\top} A

であり、これを整理すると

A A^* = (A^* A)^{-1}

を得る。

したがって \(\lambda\) が \(A^* A\) の固有値であれば、 \(\lambda^{-1}\) も固有値となる。

特異値は \(A^* A\) の固有値の正の平方根であるから、もし \(\sigma\) が \(A\) の特異値であれば、 \(\sigma^{-1}\) も特異値である。

よって 1 でない特異値は必ず \(\sigma\) と \(\sigma^{-1}\) という逆数のペアで現れる。なお \(\sigma = 1\) の場合は自分自身が逆数であるため、単独で現れてもよい。