2.6.P35
2.6.問題35
前問の表記を用いて次を示せ：
\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^2
\le \sqrt{ (\mathrm{tr} AA^* - \frac{1}{n} |\mathrm{tr} A|^2)^2 - \frac{1}{2} \mathrm{tr}((AA^* - A^*A)^2) + \frac{1}{n} |\mathrm{tr} A|^2 }
さらに、(2.6.10) の上界は (2.6.9) の上界以下であり、等号は \(\operatorname{tr} A = 0\) または \(A\) が正規のときに成立する理由を示せ。
\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^2
\le \sqrt{ (\mathrm{tr} AA^*)^2 - \frac{1}{2} \mathrm{tr}((AA^* - A^*A)^2) }
ヒント
前問の結果より \(\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^2\) は \((\operatorname{tr} AA^*)^2 - \frac{1}{2}\operatorname{tr}((AA^* - A^*A)^2)\) を用いて評価できる。
ここで \(\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^2 = \sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A) - \frac{\operatorname{tr} A}{n}|^2 + \frac{1}{n}|\operatorname{tr} A|^2\) を用いて、固有値の平均を引いた形に分解するのがポイントである。
また \(\operatorname{tr} AA^* - \frac{1}{n}|\operatorname{tr} A|^2 \le \operatorname{tr} AA^*\) であることを用いれば、上界の大小関係が分かる。
解答例
固有値の和は \(\sum_{i=1}^{n} \lambda_i(A) = \operatorname{tr} A\) であるから、
\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^2
=
\sum_{i=1}^{n} \left|\lambda_i(A) - \frac{\mathrm{tr} A}{n}\right|^2
+
\frac{1}{n} |\mathrm{tr} A|^2
が成り立つ。
前問の不等式 (2.6.9) を \(A - \frac{\operatorname{tr} A}{n} I\) に適用すると、
\sum_{i=1}^{n} \left|\lambda_i(A) - \frac{\mathrm{tr} A}{n}\right|^2
\le
\sqrt{
\left(
\mathrm{tr} AA^*
-
\frac{1}{n} |\mathrm{tr} A|^2
\right)^2
-
\frac{1}{2}
\mathrm{tr}((AA^* - A^*A)^2)
}
を得る。
これを先ほどの分解式に代入すると、
\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^2
\le
\sqrt{
\left(
\mathrm{tr} AA^*
-
\frac{1}{n} |\mathrm{tr} A|^2
\right)^2
-
\frac{1}{2}
\mathrm{tr}((AA^* - A^*A)^2)
+
\frac{1}{n} |\mathrm{tr} A|^2
}
が得られ、これが (2.6.10) である。
次に、上界の比較を行う。 \(\operatorname{tr} AA^* - \frac{1}{n}|\operatorname{tr} A|^2 \le \operatorname{tr} AA^*\) であるから、 (2.6.10) の右辺は (2.6.9) の右辺以下である。
等号が成立するのは、 \(\frac{1}{n}|\operatorname{tr} A|^2 = 0\)、すなわち \(\operatorname{tr} A = 0\) のとき、 または前問と同様に \(AA^* = A^*A\) すなわち \(A\) が正規のときである。
したがって、(2.6.10) の上界は (2.6.9) の上界以下であり、 等号は \(\operatorname{tr} A = 0\) または \(A\) が正規のときに成立する。
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