[行列解析2.6.p34]Schur不等式の強化と正規性条件

2.6.P34

2.6.問題34

\(A \in M_n\) および \(A^2\) の固有値をそれぞれ \(\lambda_1(A), \ldots, \lambda_n(A)\) および \(\lambda_1(A^2), \ldots, \lambda_n(A^2)\)、特異値をそれぞれ \(\sigma_1(A), \ldots, \sigma_n(A)\) および \(\sigma_1(A^2), \ldots, \sigma_n(A^2)\) とする。

Schur の不等式(2.3.2a)

\begin{align}\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i|^2 &= \sum_{i,j=1}^{n} |a_{ij}|^2 - \sum_{i \lt j} |t_{ij}|^2 \notag \\ &\leq \sum_{i,j=1}^{n} |a_{ij}|^2 \notag \\ &= \mathrm{tr}(A A^*) \notag \end{align}

(a) Schur の不等式 (2.3.2a) を \(A^2\) に適用して次の不等式を導け：

\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^4 \le \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^2(A^2)

(b) 複合行列 \(C_2(A)\) に Schur の不等式を適用して次の不等式を導け：

\sum_{1 \le i \lt j \le n} |\lambda_i(A)\lambda_j(A)|^2 \le \sum_{1 \le i \lt j \le n} \sigma_i^2(A)\sigma_j^2(A)

(c) 次を示せ：

(\mathrm{tr} AA^*)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^4(A) + 2 \sum_{1 \le i \lt j \le n} \sigma_i^2(A)\sigma_j^2(A)

(d) 次を示せ：

\mathrm{tr}((AA^* - A^*A)^2) = 2 \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^4(A) - 2 \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^2(A^2)

(e) 次を示せ：

\left( \sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^2 \right)^2 \\ = \sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^4 + 2 \sum_{1 \le i < j \le n} |\lambda_i(A)\lambda_j(A)|^2

(f) 結論として次の不等式が成り立つ：

(2.6.9)

\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^2 \le \sqrt{ (\mathrm{tr} AA^*)^2 - \frac{1}{2} \mathrm{tr}((AA^* - A^*A)^2) }

これは Schur の不等式 (2.3.2a) を強化したものである。

もし \(A\) が正規なら、(2.6.9) は等号となる理由を説明せよ。

また、(2.6.9) が等号となるのは、かつそのときに限り \(A^2\) および \(C_2(A)\) が正規である場合である理由を説明せよ。

ヒント

(a) では Schur の不等式を \(A^2\) に適用する。固有値は \(\lambda_i(A^2)=\lambda_i(A)^2\) であり、\(\mathrm{tr}(A^2(A^2)^*)=\sum_{i=1}^n \sigma_i^2(A^2)\) であることを用いる。

(b) では複合行列 \(C_2(A)\) の固有値が \(\lambda_i(A)\lambda_j(A)\,(i<j)\)、特異値が \(\sigma_i(A)\sigma_j(A)\,(i<j)\) であることを用いる。

(d) では \(\mathrm{tr}(X^2)=\mathrm{tr}(XX)\) を用いて計算する。

(e) は恒等式の展開である。(f) は (a)(b)(c)(d)(e) を組み合わせて整理する。

解答例

(a) Schur の不等式を \(A^2\) に適用すると

\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A^2)|^2 \le \mathrm{tr}(A^2(A^2)^*)

が得られる。ここで \(\lambda_i(A^2)=\lambda_i(A)^2\) であるから左辺は \(\sum_{i=1}^n |\lambda_i(A)|^4\) となる。また右辺は \(\mathrm{tr}(A^2(A^2)^*)=\sum_{i=1}^n \sigma_i^2(A^2)\) である。よって所望の不等式が従う。

(b) 複合行列 \(C_2(A)\) の固有値は \(\lambda_i(A)\lambda_j(A)\,(1\le i<j\le n)\) であり、特異値は \(\sigma_i(A)\sigma_j(A)\) である。したがって Schur の不等式を \(C_2(A)\) に適用すると

\sum_{1 \le i \lt j \le n} |\lambda_i(A)\lambda_j(A)|^2 \le \sum_{1 \le i \lt j \le n} \sigma_i^2(A)\sigma_j^2(A)

が得られる。

(c) \(\mathrm{tr}(AA^*)=\sum_{i=1}^n \sigma_i^2(A)\) であるから、その二乗を展開すると

(\mathrm{tr} AA^*)^2 = \left( \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^2(A) \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^4(A) + 2 \sum_{1 \le i \lt j \le n} \sigma_i^2(A)\sigma_j^2(A)

となる。

(d) 展開すると

\mathrm{tr}((AA^* - A^*A)^2) = \mathrm{tr}((AA^*)^2) + \mathrm{tr}((A^*A)^2) - 2\mathrm{tr}(AA^*A^*A)

である。ここで \(\mathrm{tr}((AA^*)^2)=\mathrm{tr}((A^*A)^2)=\sum_{i=1}^n \sigma_i^4(A)\) であり、さらに \(\mathrm{tr}(AA^*A^*A)=\mathrm{tr}((A^2)(A^2)^*)=\sum_{i=1}^n \sigma_i^2(A^2)\) である。よって

\mathrm{tr}((AA^* - A^*A)^2) = 2 \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^4(A) - 2 \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^2(A^2)

となる。

(e) 恒等式の展開により

\left( \sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^2 \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^4 + 2 \sum_{1 \le i \lt j \le n} |\lambda_i(A)\lambda_j(A)|^2

が得られる。

(f) (a) と (b) を (e) に代入し、さらに (c)(d) を用いて整理すると

\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^2 \le \sqrt{ (\mathrm{tr} AA^*)^2 - \frac{1}{2}\mathrm{tr}((AA^* - A^*A)^2) }

を得る。

\(A\) が正規なら \(AA^*=A^*A\) であるから \(\mathrm{tr}((AA^* - A^*A)^2)=0\) となる。このとき右辺は \(\mathrm{tr}(AA^*)=\sum_{i=1}^n \sigma_i^2(A)\) の平方根であり、正規行列では \(|\lambda_i(A)|=\sigma_i(A)\) であるから等号が成立する。

また等号が成立するためには (a)(b) の不等式がともに等号でなければならない。Schur の不等式で等号が成り立つのは対象行列が正規である場合に限るから、\(A^2\) および \(C_2(A)\) が正規であることが必要十分条件である。