2.6.P18
2.6.問題18
\(A \in M_n\) が射影行列で、\(\mathrm{rank}(A) = r\) とする。
(a) \(A\) がユニタリ合同で
\begin{pmatrix} I_r & X \\ 0 & 0_{n-r} \end{pmatrix}
となることを示せ（1.1.P5参照）。
(b) \(X = V \Sigma W^*\) を特異値分解とする。\(A\) は \(V \oplus W\) を用いて
\begin{pmatrix} I_r & \Sigma \\ 0 & 0_{n-r} \end{pmatrix}
にユニタリ合同であることが示される。このとき、\(A\) の特異値は \((I_r + \Sigma \Sigma^T) \oplus 0_{n-r}\) の対角成分であり、\(\sigma_1, \ldots, \sigma_g\) を 1 より大きい特異値とする。
(c) \(A\) はユニタリ合同で次の形式にあることを示せ：
0_{n-r-g} \oplus I_{r-g} \oplus
\begin{pmatrix} 1 & (\sigma_1^2 - 1)^{1/2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \oplus \cdots \\ \quad \quad \quad \quad \cdots \oplus
\begin{pmatrix} 1 & (\sigma_g^2 - 1)^{1/2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
ヒント
射影行列とは \(A^2 = A\) を満たす行列である。
まず像と核の直交分解を用いて基底を取り直すことで、(a) のブロック形にできる。
次に上右ブロック \(X\) に特異値分解 \(X = V \Sigma W^*\) を適用し、ユニタリ合同で簡単な形にする。
(c) では 2×2 ブロックごとに特異値を用いて正規直交基底を取り直す。
解答例
(a) \(A\) は射影行列であるから \(A^2 = A\) を満たす。このとき像空間 \(\mathrm{Im}(A)\) の次元は \(r = \mathrm{rank}(A)\) である。まず \(\mathrm{Im}(A)\) の正規直交基底を取り、それを \(\mathbb{C}^n\) の正規直交基底に拡張する。これに対応するユニタリ行列を \(U\) とすると、基底変換により
U^* A U
= \begin{pmatrix}
I_r & X \\
0 & 0_{n-r}
\end{pmatrix}
という形になる。ここで右上のブロックを \(X\) とした。
(b) \(X\) の特異値分解を
X = V \Sigma W^*
とする。ここで \(V, W\) はユニタリ、\(\Sigma\) は対角行列である。すると
(V \oplus W)^*
\begin{pmatrix}
I_r & X \\
0 & 0
\end{pmatrix}
(V \oplus W)
=
\begin{pmatrix}
I_r & \Sigma \\
0 & 0
\end{pmatrix}
となる。さらに
A^*A
= \begin{pmatrix}
I_r & \Sigma \\
0 & 0
\end{pmatrix}^*
\begin{pmatrix}
I_r & \Sigma \\
0 & 0
\end{pmatrix}
=
(I_r + \Sigma \Sigma^T) \oplus 0_{n-r}
となるので、\(A\) の特異値は \(I_r + \Sigma \Sigma^T\) の対角成分と 0 である。1 より大きい特異値を \(\sigma_1,\ldots,\sigma_g\) とする。
(c) \(\Sigma\) の対角成分を用いて 2×2 ブロックごとに基底を取り直すと、各 \(\sigma_i > 1\) に対して
\begin{pmatrix}
1 & (\sigma_i^2 - 1)^{1/2} \\
0 & 0
\end{pmatrix}
という形にユニタリ合同で変形できる。また特異値が 1 に対応する部分は \(I_{r-g}\)、特異値が 0 に対応する部分は \(0_{n-r-g}\) となる。したがって \(A\) はユニタリ合同で
0_{n-r-g} \oplus I_{r-g}
\oplus
\begin{pmatrix} 1 & (\sigma_1^2 - 1)^{1/2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\oplus \cdots \oplus
\begin{pmatrix} 1 & (\sigma_g^2 - 1)^{1/2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
の形になる。
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