2.6.P14
2.6.問題14
\(A \in M_n\) を与える。
(a) \(A\) が正規であり、スペクトル分解 \(A = U \Lambda U^*\) があり、\(U\) はユニタリ、\(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) = \mathrm{diag}(e^{i\theta_1} |\lambda_1|, \ldots, e^{i\theta_n} |\lambda_n|)\) とする。ここで \(D = \mathrm{diag}(e^{i\theta_1}, \ldots, e^{i\theta_n})\)、\(\Sigma = \mathrm{diag}(|\lambda_1|, \ldots, |\lambda_n|)\) とする。なぜ \(A = (UD)\Sigma U^*\) が \(A\) の特異値分解であり、特異値が固有値の絶対値であるかを説明せよ。
(b) \(s_1, \ldots, s_d\) を \(A\) の異なる特異値とし、\(A = V \Sigma W^*\) を特異値分解とする。ここで \(V, W \in M_n\) はユニタリ、\(\Sigma = s_1 I_{n_1} \oplus \cdots \oplus s_d I_{n_d}\) とする。\(A\) が正規であることと、\(\Sigma\) に対応したブロック対角ユニタリ行列 \(U = U_1 \oplus \cdots \oplus U_d\) が存在して \(V = WU\) となることは同値であることを示せ。
(c) \(A\) が正規で異なる特異値を持つ場合、特異値分解 \(A = V \Sigma W^*\) において、なぜ \(V = W D\) が成り立つかを説明せよ。ここで \(D\) は対角ユニタリ行列である。異なる特異値の仮定は \(A\) の固有値について何を意味するか？
ヒント
(a) 正規行列はユニタリ対角化できる。
固有値を極形式 \(\lambda_j = e^{i\theta_j}|\lambda_j|\) と書き、位相部分をまとめた対角行列 \(D\) を導入する。
(b) では \(A^*A = AA^*\) を特異値分解に代入して、\(\Sigma^2\) とユニタリ行列の関係を調べる。
(c) 異なる特異値を持つときは各ブロックが 1 次元となることに注意する。
解答例
(a) \(A\) は正規であるから、あるユニタリ行列 \(U\) により
A = U \Lambda U^*
と書ける。ここで各固有値を \(\lambda_j = e^{i\theta_j}|\lambda_j|\) と書き、
D = \mathrm{diag}(e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n}),
\qquad
\Sigma = \mathrm{diag}(|\lambda_1|,\ldots,|\lambda_n|)
とおくと \(\Lambda = D\Sigma\) である。したがって
A = (UD)\Sigma U^*
となる。\(UD\) はユニタリであり、\(\Sigma\) は非負対角行列である。さらに
A^*A = U \Sigma^2 U^*
であるから、特異値は \(|\lambda_j|\) に一致する。
(b) \(A = V\Sigma W^*\) とする。\(A\) が正規であることは
A^*A = AA^*
と同値である。計算すると
A^*A = W \Sigma^2 W^*, \qquad AA^* = V \Sigma^2 V^*
であるから、
W \Sigma^2 W^* = V \Sigma^2 V^*
が成り立つ。両辺に \(W^*\) と \(W\) を掛けると
\Sigma^2 = (W^*V)\Sigma^2 (V^*W)
を得る。ここで \(\Sigma = s_1 I_{n_1} \oplus \cdots \oplus s_d I_{n_d}\) であるから、\(\Sigma^2\) と可換なユニタリ行列は同じブロック分解を保つ。したがって
W^*V = U_1 \oplus \cdots \oplus U_d
となるユニタリ行列が存在する。よって \(V = WU\)（ただし \(U = U_1 \oplus \cdots \oplus U_d\)）である。逆にこの形であれば上式が成り立ち、\(A\) は正規である。
(c) 異なる特異値を持つときは各 \(n_j = 1\) である。したがって (b) のブロック対角ユニタリ行列は
U = \mathrm{diag}(e^{i\phi_1},\ldots,e^{i\phi_n})
という対角ユニタリ行列になる。よって
V = W D
（\(D\) は対角ユニタリ行列）となる。異なる特異値を持つということは、\(|\lambda_j|\) が互いに異なることを意味する。したがって固有値は絶対値の異なる複素数であり、各固有空間は 1 次元となる。
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