2.6.P12
2.6.問題12
\(A \in M_n\) の特異値分解 \(A = V \Sigma W^*\) を考える。
ここで \(\Sigma = \mathrm{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_n)\)、\(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_n\) とする。
(a) 余因子行列 \(\mathrm{adj} A\) の特異値分解は \(\mathrm{adj} A = X^* S Y\) であり、ここで \(X = (\det W)(\mathrm{adj} W)\)、\(Y = (\det V)(\mathrm{adj} V)\)、\(S = \mathrm{diag}(s_1, \ldots, s_n)\) で、各 \(s_i = \prod_{j \ne i} \sigma_j\) であることを示せ。
(b) (a) を用いて、\(\mathrm{rank} A \le n-2\) のとき \(\mathrm{adj} A = 0\) となることを説明せ。
(c) \(\mathrm{rank} A = n-1\) で、\(v_n, w_n \in \mathbb{C}^n\) が \(V, W\) の最後の列であるとき、\(\mathrm{adj} A = \sigma_1 \cdots \sigma_{n-1} e^{i\theta} w_n v_n^*\) であり、ここで \(\det(V W^*) = e^{i \theta}\)、\(\theta \in \mathbb{R}\) であることを示せ。
ヒント
特異値分解 \(A = V \Sigma W^*\) に対し、\(\mathrm{adj}(XYZ) = \mathrm{adj}(Z)\mathrm{adj}(Y)\mathrm{adj}(X)\) を用いる。
また \(\mathrm{adj}(\Sigma)\) は対角行列で、その対角成分は自身を除いた対角成分の積になる。
ユニタリ行列については \(\mathrm{adj}(U) = (\det U) U^*\) を用いる。(b) は \(s_i\) の形から直ちに従い、(c) は特異値が一つだけ 0 になる場合を考えればよい。
解答例
(a) 特異値分解
A = V \Sigma W^*
を用いる。余因子行列は積に対して
\mathrm{adj}(XYZ) = \mathrm{adj}(Z)\mathrm{adj}(Y)\mathrm{adj}(X)
を満たすから、
\mathrm{adj} A
= \mathrm{adj}(W^*) \mathrm{adj}(\Sigma) \mathrm{adj}(V)
となる。ユニタリ行列 \(U\) に対しては
\mathrm{adj}(U) = (\det U) U^*
であるから、
\mathrm{adj}(W^*) = (\det W^*) W,
\qquad
\mathrm{adj}(V) = (\det V) V^*
である。また \(\Sigma = \mathrm{diag}(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)\) に対し、
\mathrm{adj}(\Sigma)
= \mathrm{diag}(s_1,\ldots,s_n),
\qquad
s_i = \prod_{j \ne i} \sigma_j
となる。以上をまとめると
\mathrm{adj} A
= (\det W^*) W \, S \, (\det V) V^*
ここで \(S = \mathrm{diag}(s_1,\ldots,s_n)\) である。よって
X = (\det W)(\mathrm{adj} W),
\qquad
Y = (\det V)(\mathrm{adj} V)
とおけば
\mathrm{adj} A = X^* S Y
となる。
(b) \(\mathrm{rank} A \le n-2\) のとき、少なくとも二つの特異値が 0 である。すると各 \(s_i = \prod_{j \ne i} \sigma_j\) には少なくとも一つ 0 が含まれるため、すべての \(s_i = 0\) となる。したがって
S = 0
であり、よって \(\mathrm{adj} A = 0\) となる。
(c) \(\mathrm{rank} A = n-1\) とすると、\(\sigma_n = 0\) で他は正である。このとき
s_n = \sigma_1 \cdots \sigma_{n-1},
\qquad
s_i = 0 \ (i \ne n)
であるから
S = \mathrm{diag}(0,\ldots,0,\sigma_1 \cdots \sigma_{n-1})
となる。よって \(\mathrm{adj} A\) は階数 1 の行列であり、
\mathrm{adj} A
= \sigma_1 \cdots \sigma_{n-1}
(\det(VW^*)) \, w_n v_n^*
と書ける。ここで \(\det(VW^*) = e^{i\theta}\)（\(\theta \in \mathbb{R}\)）と書けば、所望の形
\mathrm{adj} A
= \sigma_1 \cdots \sigma_{n-1} e^{i\theta} w_n v_n^*
を得る。
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