[行列解析2.6.p10]

2.6.問題10

\(A, B \in M_n\) を与え、\(A\) の特異値を \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_n \ge 0\) とし、\(\Sigma = \mathrm{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_n)\) とする。

次の三つの条件が同値であることを示せ：

(a) \(A^* A = B^* B\);

(b) ユニタリ行列 \(W, X, Y \in M_n\) が存在して \(A = X \Sigma W^*\) および \(B = Y \Sigma W^*\);

(c) ユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して \(B = UA\)。一般化については (7.3.11) を参照。

参考:Matrix Analysis：Second Edition ISBN 0-521-30587-X.(当サイトは公式と無関係です)