[行列解析2.6.p5]複素行列の実直交対角化条件

2.6.P5

2.6.問題5

\(A \in M_{n,m}\) とし、\(A = B + i C\) と書く。

ここで \(B, C \in M_{n,m}(\mathbb{R})\) とする。

このとき、実直交行列 \(X \in M_n(\mathbb{R})\)、\(Y \in M_m(\mathbb{R})\) が存在して \(A = X \Delta Y^T\) となり、\(\Delta \in M_{n,m}(\mathbb{C})\) が対角であることと、\(BC^T\) および \(C^T B\) が両方対称であることは同値であることを示せ。

ヒント

複素行列 \( A = B + iC \) に対して、実直交行列による分解 \( A = X \Delta Y^T \) が存在するとは、実部と虚部が同時に実直交変換で対角化できることを意味する。すなわち \( B = X \Re(\Delta) Y^T \)、\( C = X \Im(\Delta) Y^T \) となる。このとき \( BC^T \) と \( C^T B \) の形を計算し、対称性が成り立つ条件を調べることが鍵である。

解答例

まず、\( A = X \Delta Y^T \) と書けると仮定する。ただし \( X, Y \) は実直交行列、\( \Delta \) は対角行列である。

A = X \Delta Y^T

\( \Delta = \Delta_1 + i \Delta_2 \) と実部と虚部に分けると、\( \Delta_1, \Delta_2 \) は実対角行列である。

B = X \Delta_1 Y^T, \qquad C = X \Delta_2 Y^T

このとき \( BC^T \) を計算する。

BC^T = X \Delta_1 Y^T (X \Delta_2 Y^T)^T = X \Delta_1 Y^T Y \Delta_2 X^T = X \Delta_1 \Delta_2 X^T

同様に

C^T B = Y \Delta_2 \Delta_1 Y^T

ここで \( \Delta_1 \) と \( \Delta_2 \) はともに対角行列であるから可換であり、\( \Delta_1 \Delta_2 \) は対角行列である。対角行列は対称であるから、 \( BC^T = X (\Delta_1 \Delta_2) X^T \) は対称行列であり、同様に \( C^T B \) も対称である。

逆に、\( BC^T \) および \( C^T B \) がともに対称であると仮定する。