2.6.P3
2.6.問題3
\(A, B \in M_{m,n}\) が同時にユニタリ合同で対角行列にできるのはいつか？
\(AB^*\) および \(B^*A\) が両方正規であることと、
ユニタリ行列 \(X \in M_m\)、\(Y \in M_n\) が存在して
\(A = X \Sigma Y^*, B = X \Delta Y^*\) となり、
\(\Sigma, \Delta \in M_{m,n}\) が対角で、
\(\Sigma\) が形式 (2.6.3.1,2) に従うことは
同値であることを示せ。
\Sigma_q =
\begin{bmatrix}
\sigma_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \sigma_{2} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \sigma_{q}
\end{bmatrix} ,\quad
q = \min\{m,n\}
もし \( m = n \) ならば、
\Sigma =
\Sigma_q
\in M_{m}
もし \( m \gt n \) ならば、
\Sigma =
\begin{bmatrix}
\Sigma_q & 0
\end{bmatrix}
\in M_{m,n}
もし \( n \gt m \) ならば、
\Sigma =
\begin{bmatrix}
\Sigma_q \\
0
\end{bmatrix}
\in M_{m,n}
ヒント
同時にユニタリ合同で対角化できるとは、同一のユニタリ行列によって左右から変換したとき、両方が対角行列になることを意味する。
この問題では、積 \( AB^* \) と \( B^*A \) の正規性が重要な役割を果たす。
正規行列はユニタリ行列で対角化できるため、その固有分解と特異値分解の関係を考えることで、同時ユニタリ合同対角化の構造が明らかになる。
\(AB^*\) と \(B^*A\)が正規であるため、\(A\) の左・右特異空間が明確に対応づけられ、その対応は \(B\) によって壊されない。
したがって、\(A\) を対角化したのと同じユニタリ行列 \(X\),\(Y\)によって\(B\) も対角化される。
解答例
(1) まず、ユニタリ行列 \( X \in M_m \)、\( Y \in M_n \) が存在して \( A = X \Sigma Y^*, B = X \Delta Y^* \) と表され、\( \Sigma, \Delta \in M_{m,n} \) が対角行列であると仮定する。
このとき \( AB^* = X \Sigma \Delta^* X^* \), \( B^*A = Y \Delta^* \Sigma Y^* \) と書ける。
ここで \( \Sigma \Delta^* \) および \( \Delta^* \Sigma \) は対角行列であるから正規であり、ユニタリ相似変換により \( AB^* \)、\( B^*A \) も正規行列である。
(2) 逆に、\( AB^* \) と \( B^*A \) がともに正規であると仮定する。
すると \( AB^* \) はユニタリ行列 \( X \) により対角化でき、 \( X^* AB^* X \) は対角行列となる。
同様に \( B^*A \) もユニタリ行列 \( Y \) により対角化できる。
\(AB^*\)の固有値問題
AB^*x=\lambda x \quad (\lambda \ne 0 )
を考えると、両辺に\(B^*\)を掛けて
B^* A(B^*x)= B^* \lambda x =\lambda (B^* x)
となるので\(\lambda \ne 0 \)なら、\(B^*x \ne0 \)は\(B^*A\)の固有値\(\lambda\)の固有ベクトルでもある。逆も同様に示せるので、\(AB^*\)と\(B^*A\)は同じ非零固有値を持つ。
\(AB^*, B^*A \)の固有値は、\( \sigma_i \, (i=1, \dots,q=\min(m,n) )\)を\(A\)の特異値とすると、\( \lambda_i = \sigma_i ^2 \geq 0 \)の(非負の)形になる。
\(AB^*, B^*A \)の固有値は非負実数で一致しているので、特異値分解の理論より \( A = X \Sigma Y^* \) と表せる。ただし \( \Sigma \) は特異値を対角成分にもつ行列であり、形式 (2.6.3.1)、(2.6.3.2) に従う。
このとき \( B \) についても同じ \( X, Y \) を用いて \( B = X \Delta Y^* \) と表すことができ、\( \Delta \) も対角行列となる事を示す。
\(AB^*\)と\(B^*A\)がともに正規であることにより、\(A\)の左右特異ベクトルが\(B\)によっても保存される。
\( A = X \Sigma Y^* \)を特異値分解とすると、\(X\)は\(AB^*\)の固有ベクトルからなり、\(Y\)は\(B^*A\)の固有ベクトルからなっている。
\( (AB^*)A=A(B^*A) \)であるから、\(A\)は\(AB^*\)と\(B^*A\)の間のインタートワイナーとみなせる。
行列\(T\)が、行列\(A,B\)に対して\(TA=BT\)という関係を満たすとき、\(T\)は\(A\)と\(B\)の間のインタートワイナーと呼ばれる。\(A\)と\(B\)の間にインタートワイナーが存在する時、\(A\)と\(B\)は同じ性質を持つことが示唆される。
したがって、\( AB^* \) および \( B^*A \) が正規であることと、同一のユニタリ行列 \( X, Y \) によって \( A, B \) が同時に対角形にユニタリ合同変換されることは同値である。
\Sigma_q =
\begin{bmatrix}
\sigma_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \sigma_{2} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \sigma_{q}
\end{bmatrix},
\quad
q = \min\{m,n\}
\Sigma =
\begin{cases}
\Sigma_q \in M_m & (m=n),\\
\begin{bmatrix}\Sigma_q & 0\end{bmatrix} \in M_{m,n} & (m>n),\\
\begin{bmatrix}\Sigma_q \\ 0\end{bmatrix} \in M_{m,n} & (n>m).
\end{cases}
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