2.7 CS分解
2.7CS分解
CS分解は、分割されたユニタリ行列に対する分割ユニタリ同値の下での標準形である。
その証明には、特異値分解、QR分解、そして次の演習に示される観察が用いられる。
演習.
\( \Gamma, L \in M_p \) とする。
ここで \( \Gamma = \mathrm{diag}(\gamma_1, \ldots, \gamma_p) \)、\( 0 \leq \gamma_1 \leq \cdots \leq \gamma_p \leq 1 \) とする。
また \( L = [\ell_{ij}] \) は下三角行列であり、行列 \([ \, \Gamma \;\; L \;\; 0 \,] \in M_{p, 2p+k}\) の行は直交規格化されていると仮定する。
このとき、\( L \) は対角行列であり、\( L = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_p) \)、さらに
|\lambda_j|^2 = 1 - \gamma_j^2, \quad j = 1, \ldots, p
が成り立つことを説明せよ。
ヒント:
もし \( \gamma_1 = 1 \) なら、なぜ \( L = 0 \) でなければならないのか？
もし \( \gamma_1 \lt 1 \) なら、なぜ \( |\ell_{11}|^2 = 1 - \gamma_1^2 \) となるのか？
さらに、直交性から \( \ell_{21} = \cdots = \ell_{p1} = 0 \) であることを説明せよ。
このようにして行を順に考えていく。
行列 \([\, \Gamma \;\; L \;\; 0 \,]\) の行が直交規格化されているとは、 この行列とその共役転置との積が単位行列になること、すなわち \((\Gamma \;\; L \;\; 0)(\Gamma \;\; L \;\; 0)^* = I_p\) であることを意味する。
ブロック積を計算すると \(\Gamma^2 + L L^* = I_p\) が得られる。 ここで \(\Gamma\) は対角行列、\(L\) は下三角行列であることを用いて成分を比較する。
解答例
仮定より、行列 \([\, \Gamma \;\; L \;\; 0 \,]\) の行は直交規格化されている。 したがって
(\Gamma \;\; L \;\; 0)(\Gamma \;\; L \;\; 0)^* = I_p
が成り立つ。 ブロック積を計算すると、
\Gamma \Gamma^* + L L^* = I_p
を得る。
ここで \(\Gamma\) は実対角行列であるから \(\Gamma \Gamma^* = \Gamma^2 = \mathrm{diag}(\gamma_1^2,\ldots,\gamma_p^2)\) である。 したがって
L L^*
=
I_p - \Gamma^2
=
\mathrm{diag}(1-\gamma_1^2,\ldots,1-\gamma_p^2)
が成り立つ。
右辺は対角行列である。 一方 \(L\) は下三角行列であるから、 \(L L^*\) も下三角と上三角の積として対角成分および下側に成分をもつ。
しかし \(L L^*\) が対角行列であるためには、 非対角成分がすべて 0 でなければならない。 下三角行列の構造を考えると、 これは \(L\) の非対角成分がすべて 0 であることを意味する。
よって \(L\) は対角行列であり、
L = \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_p)
と書ける。
このとき
L L^*
=
\mathrm{diag}(|\lambda_1|^2,\ldots,|\lambda_p|^2)
であるから、先の式と比較して
|\lambda_j|^2 = 1 - \gamma_j^2, \quad j=1,\ldots,p
が従う。 以上より、\(L\) は対角行列であり、各対角成分は \(|\lambda_j|^2 = 1-\gamma_j^2\) を満たす。
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