2.6ユニタリ同値と特異値分解
2.6 ユニタリ同値と特異値分解
ある行列 \(A\) が、\(n\) 次元複素ベクトル空間 \(V\) 上の線形変換 \(T : V \to V\) の基底表現であり、与えられた正規直交基底に関して表されているとします。
ユニタリ相似 \(A \to UAU^*\) は、その基底を別の正規直交基底に変更することに対応します。ここでユニタリ行列 \(U\) は基底変換行列です。
さらに、\(T : V_1 \to V_2\) が \(n\) 次元複素ベクトル空間から \(m\) 次元複素ベクトル空間への線形変換であり、\(A \in M_{m,n}\) が \(V_1\) と \(V_2\) の与えられた正規直交基底に関する基底表現であるとします。
このとき、ユニタリ同値 \(A \to UAW^*\) は、\(V_1\) と \(V_2\) の基底を与えられたものから別の正規直交基底へと変更することに対応します。
ユニタリ同値 \(A \to UAV\) には、互いに独立に選択できる 2 つのユニタリ行列が関与します。この追加の自由度により、ユニタリ相似では実現できない特別な形への簡約を達成することが可能となります。
\(A, B \in M_n\) を同じユニタリ相似によって上三角行列に簡約するためには、それらに（例えば可換性といった）ある条件を課す必要があります。
しかし、任意に与えられた 2 つの行列は、同じユニタリ同値によって上三角行列に簡約することができます。
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