[行列解析2.5.P75]行列の可換条件とブロック行列表示

2.5.P75

2.5.問題75

\( A, B, X \in M_n \) とする。

(a) \(AX = XB\) かつ \(XA = BX\) が成り立つことと、

\begin{bmatrix} 0 & X \\ X & 0 \end{bmatrix}

が

\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix}

と可換であることが同値であることを示せ。

(b) さらに \(X\) が正規行列で、\(AX = XB\) かつ \(XA = BX\) が成り立つとき、次が成り立つことを示せ：

AX^* = X^* B, \quad X^* A = B X^*

ブロック行列の積を直接計算し、各ブロック成分を比較することで可換条件を調べる。

(b) では (a) の結果を用いて、正規性から随伴行列に関する可換性を導く。

(a) 次の2つのブロック行列を考える。

M= \begin{bmatrix} 0 & X\\ X & 0 \end{bmatrix}, \quad N= \begin{bmatrix} A & 0\\ 0 & B \end{bmatrix}

このとき積を計算すると

MN= \begin{bmatrix} 0 & XB\\ XA & 0 \end{bmatrix}, \quad NM= \begin{bmatrix} 0 & AX\\ BX & 0 \end{bmatrix}

である。したがって \(MN=NM\) が成り立つことと \(AX=XB\) かつ \(XA=BX\) が成り立つことは同値である。

(b) \(X\) が正規であり、 \(AX=XB\) かつ \(XA=BX\) が成り立つと仮定する。(a) より \(M\) と \(N\) は可換である。

\(X\) が正規であるから \(X^*X=XX^*\) であり、従って

M^*= \begin{bmatrix} 0 & X^*\\ X^* & 0 \end{bmatrix}

もまた \(M\) と可換である。よって \(MN=NM\) から \(M^*N=NM^*\) が従う。

ブロック成分を比較すると

AX^*=X^*B, \quad X^*A=BX^*

が得られる。