2.5.P73
2.5.問題73
\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) が正規で、固有値 \(\lambda = a + ib \ (\lambda \notin \mathbb{R})\) と固有ベクトル \(x\) をもつとする。
(a) 共役複素数 \(\overline{\lambda}, \overline{x}\) も固有対であり、かつ \(x^{\top} x = 0\) が成り立つことを示せ。
(b) \(x = u + iv\) と分解し、\(u, v\) を実ベクトルとする。このとき \(u^{\top} u = v^{\top} v \neq 0\)、かつ \(u^{\top} v = 0\) であることを示せ。
(c) 次を定める：
q_1 = \frac{u}{\sqrt{u^T u}}, \quad q_2 = \frac{v}{\sqrt{v^T v}}, \quad \\
Q = [q_1 \ q_2 \ Q_1] \in M_n(\mathbb{R}) ただし \(Q\) は実直交行列である。このとき
Q^{\top}T A Q = \begin{bmatrix} B & * \\ 0 & * \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} が成り立つことを示せ。
(d) (2.3.4b) に依存しない形で定理 (2.5.8) の別証明を与えよ。
定理 2.5.8.
\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) が正規行列であるとする。
(a) 実直交行列 \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) が存在して、次の形の実準対角行列と実直交相似である：\( Q^\top A Q \)
(2.5.9)A_1 \oplus \cdots \oplus A_m \in M_n(\mathbb{R}) \\ \text{各} A_i \text{は、} 1 \times 1 または 2 \times 2 \text{行列}それぞれの \( A_i \) は \( 1 \times 1 \) または \( 2 \times 2 \) 行列
以下の性質を持つ：
(2.5.9) の \( 1 \times 1 \) ブロックは、\( A \) の実固有値を表す。
各 \( 2 \times 2 \) ブロックは、次の特別な形をしており、
(2.5.10)\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}ここで \( b > 0 \) とする。この行列は正規行列であり、固有値 \( a \pm ib \) を持つ。
(b) 表現 (2.5.9) における各直和ブロックは、\( A \) の固有値によって完全に決定される。ただし、これらのブロックは任意の順序で並べることができる。
(c) 2つの実正規 \( n \times n \) 行列が実直交相似であるのは、それらが同じ固有値を持つ場合に限る。
(2.3.4b)
実直交行列 \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) が存在して、\( Q^\top A Q \) が実の上三準三角行列となり、以下の性質を持つ：
- (i) 1×1の対角ブロックは \( A \) の実固有値を表す。
- (ii) 2×2の対角ブロックは \( A \) の共役な非実固有値の組を表す（ただし(a)のような特別な形ではない）。
- (iii) 実固有値および非実固有値の順序は、指定された順序に従って対角ブロックに反映される。
ヒント
実正規行列 \(A\) に対して、非実固有値をもつ固有ベクトルは複素共役と対になって現れる。
正規性から固有ベクトル間の直交性を利用し、実部と虚部に分解することで、実直交基底を構成できる。
これを繰り返すことで、実直交相似による準対角化が得られる。
解答例
(a) \(A\in M_n(\mathbb{R})\) より \(\overline{A}=A\) である。\(Ax=\lambda x\) を複素共役すると \(A\overline{x}=\overline{\lambda}\,\overline{x}\) が成り立つ。したがって \((\overline{\lambda},\overline{x})\) も固有対である。さらに \(A\) は正規であるから、異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交し、 \(x^T\overline{x}=0\) が成り立つ。よって \(x^{\top}x=0\) である。
(b) \(x=u+iv\) とおき、\(u,v\) を実ベクトルとする。
(a) の結果より \((u+iv)^{\top}(u+iv)=0\) であるから、実部と虚部を比較して \(u^{\top}u=v^{\top}v\)、かつ \(u^{\top}v=0\) が従う。
なお \(x\neq0\) であるため \(u^{\top}u=v^{\top}v\neq0\) である。
(c) \(q_1=\dfrac{u}{\sqrt{u^{\top}u}}\)、\(q_2=\dfrac{v}{\sqrt{v^{\top}v}}\) と定めると、(b) より \(q_1,q_2\) は正規直交系である。
これを実直交基底に拡張して \(Q=[q_1\ q_2\ Q_1]\in M_n(\mathbb{R})\) とする。このとき
Q^{\top}AQ=
\begin{bmatrix}
a & b & *\\
-b & a & *\\
0 & 0 & *
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
B & *\\
0 & *
\end{bmatrix},
\quad
B=
\begin{bmatrix}
a & b\\
-b & a
\end{bmatrix}
が成り立つ。
(d) 上の構成により、非実固有値 \(a\pm ib\) に対応して必ず \( \begin{bmatrix} a & b\\ -b & a\end{bmatrix} \) 型の \(2\times2\) ブロックが得られる。
一方、実固有値に対しては \(1\times1\) ブロックが現れる。これを固有値ごとに繰り返すことで、(2.3.4b) を用いずに、定理 2.5.8 の (a) の実準対角形が得られる。
この表示では、各ブロックは固有値によって決定され、順序のみが任意であるため 定理 2.5.8 の(b) が従う。
また、2つの実正規行列が同じ固有値をもつとき、対応するブロック分解が一致することから、実直交相似であることが分かり、定理 2.5.8 の(c) も示される。
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