[行列解析2.5.P69]

2.5.問題69

2.5.P69

\( k \times k \) ブロック行列

 M_A = [A_{ij}]_{i,j=1}^k \in M_{kn}, \quad \\
A_{ij} = \begin{cases} 0 & (i \geq j) \\ I_n & (j = i+1) \end{cases} 

を定める。同様に \( M_B = [B_{ij}]_{i,j=1}^k \) を定める。

さらに \( W = [W_{ij}]_{i,j=1}^k \in M_{kn} \) を \( M_A, M_B \) に適合するように分割する。

(a) もし \( M_A W = W M_B \) ならば、\( W \) はブロック上三角行列であり、かつ \( W_{11} = \cdots = W_{kk} \) であることを示せ。

(b) もし \( W \) がユニタリであり \( M_A W = W M_B \)（すなわち \( M_A = W M_B W^* \)）ならば、\( W \) はブロック対角行列であり、\( W_{11} = U \) がユニタリで、\( W = U \oplus \cdots \oplus U \) となり、さらにすべての \( i, j \) について

 A_{ij} = U B_{ij} U^* 

が成り立つことを示せ。

ブロック行列 \( M_A, M_B \) のさらなる性質については (4.4.P46), (4.4.P47) を参照せよ。

[行列解析2.5]

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2025.08.27