[行列解析2.5.P65]正規行列の複合行列も正規である

2.5.P65

2.5.問題65

\( A \in M_n \) が正規行列であり、\( r \in \{1, \ldots, n\} \) とする。

このとき、複合行列 \( C_r(A) \) も正規であることを説明せよ。

正規性 \( A^*A = AA^* \) が成り立つとき、複合行列に対する積と随伴の基本的な性質を用いる。

特に \( C_r(AB) = C_r(A)C_r(B) \) および \( C_r(A^*) = C_r(A)^* \) を利用する。

\( A \in M_n \) を正規行列とする。このとき \( A^*A = AA^* \) が成り立つ。

複合行列の基本性質より、任意の \( r \in \{1,\ldots,n\} \) に対して \( C_r(AB) = C_r(A)C_r(B) \) および \( C_r(A^*) = C_r(A)^* \) が成り立つ。

これを用いると、

C_r(A)^* C_r(A) = C_r(A^*) C_r(A) = C_r(A^*A)

同様に

C_r(A) C_r(A)^* = C_r(A) C_r(A^*) = C_r(AA^*)

ここで \( A \) は正規であるから \( A^*A = AA^* \) であり、したがって

C_r(A^*A) = C_r(AA^*)

以上より \( C_r(A)^* C_r(A) = C_r(A) C_r(A)^* \) が成り立つ。

よって複合行列 \( C_r(A) \) は正規行列である。