[行列解析2.5.P64]正規性差の階数は1にならない

2.5.P64

2.5.問題64

\( A \in M_n \) に対し、次を示せ：\(\mathrm{rank}(AA^* - A^*A) \neq 1\)。

行列 \( AA^* - A^*A \) はエルミート行列であり、そのトレースを調べることが有効である。階数が1であるエルミート行列の固有値構造に注目すると矛盾が生じる。

\( A \in M_n \) を任意に取る。行列 \( H = AA^* - A^*A \) とおく。

まず \( H \) は \( H^* = (AA^*)^* - (A^*A)^* = AA^* - A^*A = H \) よりエルミート行列である。

次にトレースを計算する。トレースの巡回性より

\mathrm{tr}(AA^* - A^*A) = \mathrm{tr}(AA^*) - \mathrm{tr}(A^*A) = 0

したがって \( H \) の固有値の総和は 0 である。

ここで背理法を用いる。もし \( \mathrm{rank}(H) = 1 \) であると仮定する。

\( H \) はエルミートであるから、非零固有値は実数であり、階数が1であることから、非零固有値はただ1つ、ある実数 \( \lambda \neq 0 \) のみである。

しかしこのとき \( \mathrm{tr}(H) = \lambda \neq 0 \) となり、先に得た \( \mathrm{tr}(H) = 0 \) に矛盾する。

よって仮定は誤りであり、 \( \mathrm{rank}(AA^* - A^*A) \neq 1 \) が成り立つ。