2.5.P60
2.5.問題60
\( x = [x_i] \in \mathbb{C}^n \) を与える。
(a) \(\max_i |x_i| \leq \|x\|_2\) が成り立つ理由を説明せよ (0.6.1)。
(b) \( e = e_1 + \cdots + e_n \in \mathbb{C}^n \) を成分がすべて1のベクトルとする。もし \( x^{\top} e = 0 \) ならば、
\max_i |x_i| \leq \sqrt{\frac{n-1}{n}} \, \|x\|_2 が成り立つことを示せ。
さらに等号成立条件は、ある \( c \in \mathbb{C} \)、ある添字 \( j \) に対して \( x = c (n e_j - e) \) となる場合に限られることを示せ。
ヒント
(a) 各成分の絶対値の二乗は、ノルムの定義に現れる和の一部であることに注意する。
(b) 条件 \( x^{\top} e = 0 \) は、成分の和が 0 であることを意味する。この条件の下で、最大成分を固定し、他の成分との関係を考えると評価が得られる。等号成立条件は、対称性とコーシー・シュワルツの不等式の等号条件から導かれる。
解答例
(a) ユークリッドノルムの定義より、
\|x\|_2^2 = \sum_{i=1}^n |x_i|^2
が成り立つ。任意の添字 \( i \) に対して \( |x_i|^2 \le \sum_{k=1}^n |x_k|^2 \) であるから、
|x_i| \le \|x\|_2
が従う。したがって \( \max_i |x_i| \le \|x\|_2 \) が成り立つ。
(b) 条件 \( x^{\top} e = 0 \) は、
\sum_{i=1}^n x_i = 0
を意味する。ある添字 \( j \) を固定し、最大値 \( |x_j| = \max_i |x_i| \) をとるとする。このとき、
x_j = - \sum_{i \ne j} x_i
である。コーシー・シュワルツの不等式より、
|x_j|^2 = \left| \sum_{i \ne j} x_i \right|^2
\le (n-1) \sum_{i \ne j} |x_i|^2
が成り立つ。ここで \( \sum_{i \ne j} |x_i|^2 = \|x\|_2^2 - |x_j|^2 \) を用いると、
|x_j|^2 \le (n-1)\left( \|x\|_2^2 - |x_j|^2 \right)
となり、整理すると、
|x_j|^2 \le \frac{n-1}{n} \|x\|_2^2
すなわち、
\max_i |x_i| \le \sqrt{\frac{n-1}{n}} \, \|x\|_2
が得られる。
等号が成り立つためには、コーシー・シュワルツの不等式で等号が成立する必要がある。
このとき、\( i \ne j \) に対してすべての \( x_i \) が等しく、かつ \( x_j = - \sum_{i \ne j} x_i \) を満たす。よって、ある \( c \in \mathbb{C} \) が存在して、
x = c (n e_j - e)
と表される場合に限り等号が成立する。
行列解析の総本山
総本山の目次📚
記号の意味🔎
コメント