2.5.P59
2.5.問題59
\( A, B \in M_n \) とし、\( A \) が正規かつ固有値がすべて異なると仮定する。
もし \( AB = BA \) ならば \( B \) も正規であることを示せ。
(1.3.P3 と比較せよ)。
ヒント
正規行列で固有値がすべて異なる場合、ユニタリ相似により対角化でき、その可換子は同じ固有ベクトル基底で同時に三角化される。
固有値の単純性から、実際には対角化されることに注意する。
解答例
\( A \) は正規であり、固有値がすべて異なると仮定する。
このとき、あるユニタリ行列 \( U \) が存在して \( A = U \Lambda U^* \) と対角化できる。
ただし \( \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \) であり、\( \lambda_i \neq \lambda_j \)（\( i \neq j \)）である。
仮定より \( AB = BA \) が成り立つ。
両辺に \( U^* \) と \( U \) を作用させると、 \( \Lambda B' = B' \Lambda \) を得る。ただし \( B' = U^* B U =\{ \beta_{ij}\}\) とおいた。
AB = BA \\ U^*ABU = U^*BAU \\ U^*(U \Lambda U^*)BU = U^*B(U \Lambda U^*)U \\ \Lambda (U^*BU) = (U^*BU) \Lambda
行列積の成分表示を考えると、 \( (\lambda_i - \lambda_j)\beta_{ij} = 0 \) がすべての \( i,j \) について成り立つ。
固有値がすべて異なるので、\( i \neq j \) に対しては \( \lambda_i - \lambda_j \neq 0 \) であり、 \( \beta_{ij} = 0 \) が従う。
したがって \( B' \) は対角行列である。対角行列は自明に正規であるから、 \( B'^* B' = B' B'^* \) が成り立つ。
最後に、ユニタリ相似は正規性を保つので、 \( B = U B' U^* \) も正規行列である。
以上より、\( AB = BA \) ならば \( B \) は正規であることが示された。
補足
ある正則行列 \( S \) が存在して \( A = S \Lambda S^{-1} \) と対角化できたとする。
\( SAS^{-1} = \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \)
AB = BA \\
S^{-1}ABS = S^{-1}BAS \\
S^{-1}(S \Lambda S^{-1})BS = S^{-1}B(S \Lambda S^{-1})S \\
\Lambda (S^{-1}BS) = (S^{-1}BS) \Lambda 
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