[行列解析2.5.P56]行列方程式 ( A^k=A^* ) とスペクトルの特徴付け

2.5.P56

2.5.問題56
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2.5.問題56

\( A \in M_n \)、整数 \( k \geq 2 \) を与え、\(\omega = e^{2\pi i/(k+1)}\) とする。

このとき \( A^k = A^* \) が成り立つことと、\( A \) が正規であり、そのスペクトルが \(\{0, 1, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^k\}\) に含まれることは同値であることを示せ。

さらに、もし \( A^k = A^* \) かつ \( A \) が非特異であれば、\( A \) がユニタリであることを説明せよ。

ヒント

等式 \( A^k=A^* \) から \( A \) と \( A^* \) が可換であることを示すと、\( A \) の正規性が従う。

正規行列はユニタリ相似により対角化できるため、固有値に関するスカラーの関係式を考えればよい。

解答例

まず \( A^k=A^* \) が成り立つと仮定する。
このとき \( A^{k+1}=AA^*=A^*A \) であるから、\( A \) と \( A^* \) は可換し、\( A \) は正規行列である。

\( A \) が正規であるから、あるユニタリ行列 \( U \) と対角行列 \( \Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \) が存在して

A = U \Lambda U^*

と書ける。
このとき \( A^k = U \Lambda^k U^* \), \( A^* = U \overline{\Lambda} U^* \) であるから、\( A^k=A^* \) は \( \Lambda^k=\overline{\Lambda} \) と同値である。

よって各固有値 \( \lambda_j \) について \( \lambda_j^k=\overline{\lambda_j} \) が成り立つ。
両辺の絶対値を取ると \( |\lambda_j|^k=|\lambda_j| \) であるから、 \( \lambda_j=0 \) または \( |\lambda_j|=1 \) である。

\( \lambda_j \neq 0 \) の場合、\( |\lambda_j|=1 \) より \( \overline{\lambda_j}=\lambda_j^{-1} \) である。
したがって \( \lambda_j^k=\lambda_j^{-1} \) すなわち \( \lambda_j^{k+1}=1 \) が従う。

よって \( \lambda_j \) は \( \omega=e^{2\pi i/(k+1)} \) を用いて \( \lambda_j \in \{1,\omega,\omega^2,\ldots,\omega^k\} \) である。
以上より、\( A \) は正規であり、そのスペクトルは \( \{0,1,\omega,\omega^2,\ldots,\omega^k\} \) に含まれる。

逆に、\( A \) が正規であり、すべての固有値が \( \{0,1,\omega,\omega^2,\ldots,\omega^k\} \) に含まれると仮定する。
正規性より \( A=U\Lambda U^* \) と書けるが、各固有値 \( \lambda \) は \( \lambda=0 \) または \( \lambda^{k+1}=1 \) を満たすため、 \( \lambda^k=\overline{\lambda} \) が成り立つ。

したがって \( \Lambda^k=\overline{\Lambda} \) であり、 \( A^k=A^* \) が従う。以上より、二つの条件は同値である。

さらに \( A^k=A^* \) かつ \( A \) が非特異であると仮定する。
このとき固有値に \( 0 \) は含まれないため、すべての固有値は \( |\lambda|=1 \) を満たす。

正規行列で固有値の絶対値がすべて 1 であることから、 \( A^*A=I \) が成り立つ。

よって \( A \) はユニタリ行列である。